Машиностроение \ Теория механизмов и машин

Структурный анализ и синтез рычажных механизмов. Кинематический анализ рычажных механизмов. Динамика машин с упругими звеньями, страница 7

Уравнение замкнутого векторного контура для обеих сборок:

- - - -

l₁ + l₂ + l₃^* + l₄ = 0 .

Проецируя его на оси неподвижной системы координат OXY и учитывая, что j₄ = 180^o = Const, а x_A = 1_l cos j₁, y_A = 1_l sin j₁ – координаты входного шарнира A в OXY, получим:

x_A + l₂ cos j₂ + l₃^* cos j₃ – l₄ = 0 ;

y_A + l₂ sin j₂ + l₃^*sin j₃ = 0.

Для получения явного решения этой системы рассмотрим схемы на рис. 2.7, 2.8. В системе координат AXY запишем уравнения окружностей: первая радиусом АВ с центром в шарнире А, вторая радиусом СВ, с центром в шарнире С:

x² + y² = AB²,

(x² – AC)²+ y² = BC²,

Отсюда получаем координаты шарнира В в системе AX₁Y₁:

где _,

Знак “+” соответствует прямой сборке, “–” – обратной.

Найденные x_B₁, y_B₁преобразуем в систему OXY, как это описано в подразделе 2.4. В результате получим координаты шарнира B x_B, y_B.Угол для такого преобразования:

Тогда искомые углы поворота шатуна АВ и коромысла ВС:

При наличии смещения CD (на рис. 2.6 показано положительное смещение) угол поворота коромысла BC :

j₃ = j₃^* + ¡ ; ( 2.14 )

где ¡ = arctg(CD / l₃).

Для определения угловых скоростей шатуна AB и коромысла BC продифференцируем систему ( 2.9 ) по времени :

V_Ax– l₂w₂ sin j₂ – l₃^*w₃ sin j₃ = 0 ;

V_Ay+ l₂ w₂ cos j₂ + l₃^*w₃ cos j₃ = 0.

где: V_Ax= – l₁ w₁ sin j₁, V_Ay= l₁ w₁ cos j₁ – проекции скорости входного шарнира A на оси неподвижной системы координат OXY .

Система (2.15) линейна относительно w₂, w₃, и легко разрешима, например, по формулам Крамера.

Дифференцируя ( 2.15 ) по времени, получим систему уравнений для определения угловых ускорений шатуна и коромысла :

где:_,– проекции ускорения входного шарнира А на оси системы OXY.

Система ( 2.17 ) также линейна относительно неизвестных e₂, e₃ .

2.3.2. Структурная группа "шатун - ползун"

Механизм, состоящий из входного звена OA и структурной группы типа "шатун-ползун" представлен на рис. 2.9, 2.10. Ось X неподвижной системы координат OXY направлена параллельно оси ползуна. Смещение l₃, показанное на рис. 2.9 будем считать положительным, а на рис. 2.10 – отрицательным.

Уравнение замкнутого векторного контура:

- - - -

l₁ + l₂ + l₃ + l₄ = 0 .

Проецируя его на оси неподвижной системы координат OXY, получим:

l₁ cos j₁ + l₂ cos j₂ + l₃ cos j₃ + l₄ cos j₄ = 0 ;

l₁ sin j₁ + l₂ sin j₂ + l₃ sin j₃ + l₄ sin j₄ = 0.

Угол j₄= 180^O = Const. Угол j₃ также не меняется, но зависит от направления смещения точки B: j₃ = 90^О на рис. 2.9, j₃ = 270^O на рис. 2.10. Обозначим:

l₃^*= l₃ sin j₃, учитывая, что

l₁cos j₁ = x_A, l₁sin j₁ = y_A – координаты входного шарнира, систему ( 2.17 ) запишем в виде:

x_A + l₂ cos j₂ – l₄ = 0;

y_A + l₂ sin j₂ + l₃^* = 0.

Так как при заданных кинематических параметрах движения входного звена угол j₁, а, следовательно и x_A, y_A известны, то эта система легко решается относительно неизвестных j₂, l₄

j₂ = –arcsin[( l₃^* + y_A )/ l₂ ] ;