Структурный анализ и синтез рычажных механизмов. Кинематический анализ рычажных механизмов. Динамика машин с упругими звеньями, страница 7

Уравнение замкнутого векторного контура для обеих  сборок:

-      -     -       -  

l1  + l2 + l3*  + l4  = 0 .

Проецируя его на оси неподвижной системы координат OXY и учитывая, что  j4  = 180o = Const, а  xA = 1l cos j1, yA = 1l sin j1 – координаты входного шарнира  A  в  OXY, получим:

( 2.9 )xA  +  l2 cos j2  + l3*  cos j3  – l4 = 0 ;

yA  +  l2 sin j2  +  l3* sin j3  = 0.

Для получения явного решения этой системы рассмотрим схемы на рис. 2.7, 2.8. В системе координат AXY запишем уравнения окружностей: первая радиусом АВ с центром в шарнире А, вторая радиусом СВ, с центром в шарнире С:

2_7,2_8

          

( 2.10 )x2 + y2 = AB2,

(x2 AC) 2 + y2 = BC2,

Отсюда  получаем  координаты  шарнира  В  в  системе AX1Y1:

( 2.11 )

  ,                                                                 

где  ,

Знак “+” соответствует  прямой  сборке,  “–”  – обратной.

Найденные xB1, yB1 преобразуем в систему OXY, как это описано в подразделе 2.4. В результате получим координаты шарнира B xB, yB. Угол для такого преобразования:

( 2.12 )

Тогда  искомые  углы  поворота  шатуна  АВ  и  коромысла  ВС:

( 2.13 )
 


 

 

При наличии смещения CD  (на рис. 2.6 показано положительное смещение) угол  поворота  коромысла  BC :

                                       j3  = j3*  + ¡ ;                                                     ( 2.14 )

где   ¡ = arctg(CD / l3 ).

Для определения угловых скоростей шатуна AB и коромысла BC продифференцируем  систему ( 2.9 )  по  времени :

( 2.15 )VAx  l2 w2 sin j2  – l3* w3 sin j3 = 0 ;

VAy + l2 w2 cos j2 + l3* w3 cos j3 = 0.

где:  VAx= – l1 w1 sin j1VAy= l1 w1 cos j1 – проекции скорости входного шарнира  A  на  оси  неподвижной  системы  координат  OXY .

Система (2.15) линейна относительно w2w3,  и легко разрешима, например,  по  формулам  Крамера.

Дифференцируя ( 2.15 ) по времени, получим  систему  уравнений для определения  угловых  ускорений  шатуна  и  коромысла :

( 2.16 )

где:  – проекции  ускорения  входного  шарнира  А на оси  системы  OXY.

Система ( 2.17 ) также  линейна  относительно  неизвестных  e2e3 .

2.3.2. Структурная группа "шатун - ползун"

2_9

Механизм, состоящий из входного звена OA и структурной группы типа "шатун-ползун" представлен на рис. 2.9, 2.10. Ось X неподвижной системы координат OXY направлена параллельно оси ползуна. Смещение l3, показанное на  рис. 2.9 будем  считать  положительным, а на рис. 2.10 – отрицательным.

Уравнение  замкнутого векторного  контура:

-      -     -      -  

l1  + l2 + l3  + l4  = 0 .

Проецируя его на оси неподвижной системы координат  OXY,  получим:

( 2.17 )l1 cos j1  +  l2 cos j2  +  l3 cos j3  +  l4 cos j4  = 0 ;

l1 sin j1  +   l2 sin j2  +   l3 sin j3  +  l4 sin j4   = 0.

2_10

Угол j4= 180O = Const. Угол j3 также не меняется, но зависит от направления смещения точки B: j3 = 90О на рис. 2.9, j3 = 270O на рис. 2.10. Обозначим:

l3* = l3 sin j3 , учитывая, что

l1cos j1 = xAl1sin j1 = yA – координаты входного шарнира, систему ( 2.17 ) запишем в виде:

( 2.18 )                 xA  +  l2 cos j2  –  l4 = 0;

                 yA  +  l2 sin j2  +  l3* = 0.

Так как при заданных кинематических параметрах движения входного звена угол j1, а, следовательно и xA, yA известны, то эта система легко решается относительно неизвестных j2l4

( 2.19 )              j2  = –arcsin[( l3* + yA )/ l2 ] ;

              l4  = xA  +  l2 cos j2 .

Дифференцируя  систему ( 2.18 )  по  времени,  получим:

( 2.20 )              VAx –  l2 w2 sin j2  – VB   = 0 ;

             VAy + l2 w2 cos j2  =  0.

где: VAx, VAy – проекции скорости входного шарнира A на  оси  НСК  OXY.

Тогда  угловая  скорость  шатуна  и  скорость  ползуна:

( 2.21 )            w2  = –VAy /( l2 cos j2 ) ;

             VB  = VAxl2 w2 sin j2 .

Дифференцируя ( 2.20 ) по времени, получим систему уравнений для определения  ускорений:

где: aAx, aAy– проекции ускорения входного шарнира A на оси НСК  OXY (см. уравнение (2.16) .

Тогда  угловое  ускорение  шатуна  и  ускорение  ползуна:

( 2.22 )

2.3.3. Кулисные  структурные  группы