Рис. 13. Теплопроводность цилиндрической стенки
В цилиндрических координатах уравнение теплопроводности имеет вид:
,
где r – радиус-вектор в цилиндрической системе координат;
j – угол радиус-вектора.
Заданы: tc1 и tc2, l = const.
Определить распределение температур в стенке при одномерном температурном поле.
Для одномерного поля:
,
.
Поскольку изотермические поверхности имеют общую с трубой ось и являются цилиндрами, то температура вдоль j не должна изменяться, т. е.
,
.
С учетом этого уравнение теплопроводности примет вид:
. (*)
Граничные условия:
при
,
при
.
Введем новую переменную .
Тогда:
,
.
Подставим эти выражения в уравнение (*). Получим:
,
или
.
Интегрируем:
.
Потенцируем:
,
или
,
.
Интегрируем:
. (**)
При
,
.
При
,
.
Решение этих уравнений дает:
,
.
Подставляя C1 и C2 в уравнение (**), получим:
, °C,
или
, °C.
Это уравнение есть уравнение логарифмической кривой.
Для определения теплового потока запишем закон Фурье:
,
.
Градиент температуры:
.
Тогда:
, Вт.
Тепловой поток на единицу длины трубы (на 1 м):
, Вт/м,
где ql – линейная плотность теплового потока.
Тепловой поток на единицу внутренней поверхности:
,
Вт/м2.
Тепловой поток на единицу внешней поверхности:
,
Вт/м2.
Связь между ними:
, Вт/м.
В том случае, когда коэффициент теплопроводности материала
стенки является функцией температуры , то линейная плотность
теплового потока может быть определена по формуле, что и для l = const:
,
где lср – среднеинтегральное значение коэффициента теплопроводности:
.
Для цилиндрической стенки при :
.
Разделив переменные и проинтегрировав в пределах от до r и от
до t,
получим выражение температурного поля цилиндрической стенки при
:
.
При стационарном температурном поле линейная плотность теплового потока ql не зависит от толщины стенки, т. е.
.
Тогда для многослойной стенки, состоящей из n слоев:
,
,
,
,
…
,
,
.
Тогда:
.
Величина , (м·K)/Вт,
называется линейным термическим сопротивлением отдельного слоя, а величина
– полным линейным термическим
сопротивлением.
Формулы нахождения температур на границах слоев:
,
,
…
Уважаемый посетитель!
Чтобы распечатать файл, скачайте его (в формате Word).
Ссылка на скачивание - внизу страницы.