Теория теплообмена. Теплопроводность. Основные положения теории теплопроводности. Теплопроводность при стационарном режиме. Теплопроводность при нестационарном режиме. Теплообмен при фазовых превращениях, страница 12

Рис. 13. Теплопроводность цилиндрической стенки

В цилиндрических координатах уравнение теплопроводности имеет вид:

                                   ,

где   r – радиус-вектор в цилиндрической системе координат;

        j – угол радиус-вектора.

Заданы: t_c1 и t_c2, l = const.

Определить распределение температур в стенке при одномерном температурном поле.

Для одномерного поля:

                                                       , .

Поскольку изотермические поверхности имеют общую с трубой ось и являются цилиндрами, то температура вдоль j не должна изменяться, т. е.

                                                       , .

С учетом этого уравнение теплопроводности примет вид:

                                                         .                     (*)

Граничные условия:

                                                       при  ,

                                                       при  .

Введем новую переменную . Тогда:

                                                    , .

Подставим эти выражения в уравнение (*). Получим:

                                                           ,

или

                                                           .

Интегрируем:

                                                       .

Потенцируем:

                                                              ,

или

                                                    , .

Интегрируем:

                                                         .                   (**)

При  , .

При  , .

Решение этих уравнений дает:

                                      , .

Подставляя C₁ и C₂ в уравнение (**), получим:

          , °C,

или

                                               , °C.

Это уравнение есть уравнение логарифмической кривой.

Для определения теплового потока запишем закон Фурье:

                                                 , .

Градиент температуры:

                                                   .

Тогда:

                                       , Вт.

Тепловой поток на единицу длины трубы (на 1 м):

                                                , Вт/м,

где   q_l – линейная плотность теплового потока.

Тепловой поток на единицу внутренней поверхности:

                                           , Вт/м².

Тепловой поток на единицу внешней поверхности:

                                           , Вт/м².

Связь между ними:

                                                , Вт/м.

В том случае, когда коэффициент теплопроводности материала стенки является функцией температуры , то линейная плотность теплового потока может быть определена по формуле, что и для l = const:

                                                       ,

где   l_ср – среднеинтегральное значение коэффициента теплопроводности:

                                                   .

Для цилиндрической стенки при :

                                                      .

Разделив переменные и проинтегрировав в пределах от  до r и от  до t, получим выражение температурного поля цилиндрической стенки при :

                                             .

При стационарном температурном поле линейная плотность теплового потока q_l не зависит от толщины стенки, т. е.

                                                              .

Тогда для многослойной стенки, состоящей из n слоев:

                                      , ,

                                     , ,

                                                                   …

                                , ,

                  .

Тогда:

                                                      .

Величина , (м·K)/Вт, называется линейным термическим сопротивлением отдельного слоя, а величина  – полным линейным термическим сопротивлением.

Формулы нахождения температур на границах слоев:

                                                   ,

                                        ,

                                                                   …