Математическая статистика в горно-геологических расчетах, страница 16

n – объем выборки;   g – доверительная вероятность;

d = q×S – точность оценки.

Доверительный интервал для оценки неизвестной вероятности p биноминального распределения по относительной частоте w (выборочной доле) имеет вид

                   P{p₁ < p < p₂} = g ,                                         (5)

 где р = Р(А) – неизвестная вероятность события А;

а концы интервала  p₁ и p₂ определяются следующим образом:

а) Общий случай:

                                                                                                                            (6)

где  n – объем выборки, g – доверительная вероятность;

t  – находится из условия 2Ф(t) = g;

выборочная доля w находится по формуле w= m/n, где n – общее число испытаний;  m – число испытаний, в которых появилось событие А. 

b) Частный случай  –  n  велико (порядка сотен):

,               (7)

с) Частный случай – известен объем генеральной совокупности N и  n – велико:  

                       ,

                                                   (8)

3.2    Примеры построения доверительных интервалов

Приведем примеры расчета доверительных интервалов.

Пример1.

Построим  95% доверительные интервалы для оценки математического ожидания  и СКО генеральных совокупностей  признака Х  из задачи 1, пункт 4.

Для признака Х имеем:

= 1,14м; S = 0,16м; n =50

Для оценки математического ожидания используем формулу (2)

при g =0,95. По таблице приложения 3 находим

t_g = t(0,95;50)=2,009. Подставляя в формулу (2), получим

Окончательно, получим   . Следовательно, средняя мощность пласта по всей генеральной совокупности находится в пределах от 1,09м до 1,19м. Надежность этого прогноза равна 95%.

Для оценки СКО по таблице приложения 4 находим

q= q(0,95;50)=0,21.  Подставляя в формулу (3), получим

P{0,16(1 – 0,21) < s <0,16(1+0,21)} = 0,95.

Окончательно, получим P{0,13 < s <0,19} = 0,95. Следовательно, средний разброс мощности пласта вокруг среднего по всей генеральной совокупности находится в пределах от 0,13м до 0,19м. Надежность этого прогноза равна 95%.

Построение доверительных интервалов для признака У проводится аналогично.

Пример 2. Объединение закупает партию перфораторов в количестве 1000 шт. По предварительной договоренности объединение берет товар по цене S, если доля нестандартной продукции во всей партии не превышает 3%; если же эта доля находится в пределах от 3% до 8%, то производитель дает скидку на 10%,  если доля  в пределах от 8%   до 20%, то предполагается скидка на 25%. При доле нестандартного товара больше чем на 20%, объединение отказывается от предложенной сделки. Для проверки качества товара была сделана выборка объемом 60 шт. Из них не прошли контроль  6 перфораторов. Следует ли объединению покупать предложенную партию, и по какой цене? При расчетах взять надежность прогноза 90%.