Конспект лекций по дисциплине "Теория вероятностей и математическая статистика", страница 8

2) Произведен один выстрел по мишени. Единственно возможны события: попадание, промах.

3) Один раз брошена одна игральная кость. Единственно возможные события – выпадение одного очка, двух, трех, четырех, пяти или шести очков.

Определение  События А и В называются равновозможными, если имеются основания считать, что ни одно из этих событий не является более возможным, чем другое.

Примеры  1) При одном бросании монеты выпадение герба или решки – события единственно возможные и равновозможные.

2) При одном бросании игральной кости появление того или иного числа очков – события равновозможные.

3) Пусть в урне имеются 10 шаров, которые отличаются только по цвету: 3 белых, 2 синих, 5 красных. Наудачу извлекаем один шар.

Элементарные исходы этого испытания назовем Е_б; Е_б; Е_б; Е_с; Е_с; Е_кр; Е_кр; Е_кр; Е_кр; Е_кр их 10 шт. Они единственно возможные, т.к. в результате испытания обязательно появится один шар и равновозможные, т.к. все шары одинаковые, тщательно перемешаны и один шар вынимается наудачу.

Пусть событие А: извлечен белый шар.

Этому событию благоприятствуют три исхода из десяти возможных и вероятность события  .

Определение  Вероятностью события А называется отношение числа m благоприятствующих этому событию исходов к общему числу n всех единственно возможных и равновозможных исходов испытания  (классическая вероятность).

Отсюда: 1) Вероятность достоверного события равна 1, т.к. m = n.

2) Вероятность невозможного события равна 0, т.к. m = 0.

3) Вероятность случайного события А есть положительное число между      0 и 1, т.е.  .

Итак, вероятность любого события А:  или .

3. Статистическое определение вероятности

Классическое определение вероятности имеет ряд ограничений:

1) Число элементарных исходов испытания конечно. На практике встречаются такие испытания, число возможных исходов которых бесконечно.

2) Исходы испытания должны быть единственно возможными и равновозможными, что бывает трудно доказать.

По этой причине вводят другое основное понятие теории вероятностей – относительная частота события.

ОпределениеОтносительной частотой события А называют отношение числа М испытаний, в которых событие А появилось, к общему числу N фактически проведенных испытаний: .

Сопоставляя определение вероятности и относительной частоты, заключаем: определение вероятности не требует, чтобы испытания проводились в действительности. Определение же относительной частоты предполагает, что испытания были проведены фактически. Другими словами, Р(А) вычисляют до опыта, W(A) – после опыта.

Относительная частота W(A) для большого количества одинаковых опытов обнаруживает свойство устойчивости, колеблясь около некоторого постоянного числа. Оказалось, что это постоянное число есть вероятность события..

Проводились многократные опыты бросания монеты, в которых подсчитывали число появлений герба. Относительные частоты незначительно отклоняются от числа 0,5, причем тем меньше, больше число испытаний.