Математика \ Теория вероятностей и математическая статистика

Конспект лекций по дисциплине "Теория вероятностей и математическая статистика", страница 11

Обозначение: противоположное событие событию А.

Пример 1) Стрелок делает один выстрел по мишени.

А: попадание в мишень; : промах (непопадание).

2) Один раз бросаем игральную кость.

А: выпадение «1»;

: не выпадение «1», т.е. выпадение любого другого количества очков.

3) Два раза бросаем монету.

А: хотя бы один раз выпадет герб; : ни разу не выпадет герб.

Определение События А и В называются независимыми, если вероятность появления одного из них не зависит от того, произошло другое событие или нет. В противном случае А и В зависимы.

Пример Из колоды в 36 карт наудачу извлекаем одну за другой две карты. Найти вероятность того, что первая карта туз и вторая карта туз.

Существует две схемы испытания.

Схема с возвращением:

А: первая карта туз, . Карту вернули после опыта в колоду.

В: вторая карта туз, . События А и В независимы.

Схема без возвращения:

А: первая карта туз; .

В: вторая карта туз, если первая тоже туз ; . Вероятность события В зависит от того, какая карта была извлечена первой: туз или не туз. События А и В зависимы.

Определение Условной вероятностью события В называется его вероятность, вычисленная в предположении, что событие А произошло. Обозначается .

Теорема произведения

Вероятность произведения событий А·В (или вероятность их одновременного осуществления) равна произведению вероятности одного из них на условную вероятность другого события, вычисленную в предположении, что первое событие произошло

Доказательство: Обозначим n – общее число исходов испытания; n₁ –число исходов испытания, благоприятствующих событию А; m – число исходов испытания из n₁, благоприятствующих событию В, в которых произошло событие А. Событию А· В благоприятствует mисходов из n.