;
;
. События А, В, С
независимые.
D: все
извлеченные шары черные; .
.
Теорема сложения
1. Вероятность осуществления
хотя бы одного из двух несовместных событий А и В равно сумме
вероятностей этих событий .
Доказательство:
Пусть n – общее число элементарных исходов испытания; m1 – число исходов из n, благоприятствующих событию А; m2 из n благоприятствуют событию В.
Тогда событию А + В будут благоприятствовать m1 + m2 исходов.
Теорема распространяется на любое конечное число событий.
Пример: В лотерее 1000 билетов: 1б. – 500 грн; 10 б. – 100 грн; 50 б. – 20 грн; 100 б. – 5 грн. Найти вероятность выиграть не менее 20 грн на приобретенный наудачу билет.
Пусть
А: выиграть 500 грн. ;
В: выиграть 100 грн.; ;
С: выиграть 20 грн.; ;
D: выиграть
не менее 20 грн; ; А, В, С
– несовместные события.
2.
Вероятность осуществления хотя бы одного из двух совместных событий А и
В равна сумме вероятностей этих событий без вероятности их совместного
осуществления
Доказательство:
1)
,
причем события
и
несовместные
2) ,
причем события
и
несовместные
.
3) ,
причем события
,
и
несовместные
.
из (1)
из (2)
Следовательно,
.
Пример: Вероятность попадания в цель при стрельбе из первого и второго орудий Р1 = 0,7; Р2 = 0,8. Найти вероятность попадания в цель при одном залпе хотя бы одним из орудий.
Событие А – попадание в цель первым орудием, В – попадание в цель вторым орудием независимые совместные события.
Замечание: Теоремы умножения и сложения могут быть доказаны только для классической вероятности (схема случаев). При строгих построениях курса, их принимают в качестве аксиом, полная система которых была принята в 1936 г. А.Н. Колмагоровым.
7. Следствия из теорем умножения и сложения
Уважаемый посетитель!
Чтобы распечатать файл, скачайте его (в формате Word).
Ссылка на скачивание - внизу страницы.