Конспект лекций по дисциплине "Теория вероятностей и математическая статистика", страница 17

Пример  Вероятность изготовления нестандартной детали р = 0,004. Найти вероятность того, что среди 1000 деталей 5 нестандартные.

n = 1000,  k = 5;  р = 0,004;  λ = nр = 4.

.

Если считать этот вариант по формуле Бернулли, получим ; по локальной формуле Лапласа имеем .

5. Интегральная теорема Лапласа

Теорема  Если вероятность р наступления события А постоянна в каждом из n независимых испытаний, , то вероятность  того, что событие А появится в n испытаниях от k₁ до k₂ раз приближенно равна определенному интегралу

, где  ;  .

Функция  называется интегральной функцией Лапласа или интегралом вероятности, табулирована.

Свойства F(х):

1.  F(х) определена для любого х.

2.  F(х) не имеет экстремумов.

3.  F(х) имеет одну точку перегиба О(0,0).

4.  Имеет две горизонтальные асимптоты.

5.  F(х) нечетная, F(-х) = - F(х); симметричная относительно О(0,0).

6.  Пересекает оси в т. О(0,0).

7.  При х = 5  F(х) = 0, 49999997, т.е. практически при   F(х) = 0,5.

8.  F(х) есть первообразная для j(х).

Итак: , где ;  . Формула называется интегральной формулой Лапласа.

Пример  Монету бросают 100 раз. Найти вероятность того, что герб выпадет от 32 до 60 раз. n = 100, k₁ = 32, k₂ = 60;  А: выпадение герба; ; .

.

6. Вероятность отклонения относительной частоты события А от его теоретической вероятности

Пусть проведено n независимых испытаний, в т из них событие А появилось. Относительная частота появления события . Теоретическая вероятность появления события Ав каждом из n независимых испытаний равна р.

Требуется найти , где e  – заданное число. Событие  запишем по-другому:  или . Отсюда . Используя интегральную формулу Лапласа, найдем требуемую вероятность: