Конспект лекций по дисциплине "Теория вероятностей и математическая статистика", страница 44

Перцентили – 99 значений делят ряд на 100 равных частей. Обозначают перцентили Р₁, ..., Р_25, ..., Р₉₉.

Р₂₅ = Q₁;  Р₇₅ = Q₃;  Р₅₀ = Q₂ = Ме.

4.4 Точечные и интервальные оценки генеральных параметров

Числовые показатели, характеризующие генеральную совокупность, называются генеральными показателями. Например, математическое ожидание генеральной совокупности Мг, дисперсия Dг, СКО σ_г и т.д.

Числовые показатели, характеризующие выборку, называются выборочными характеристиками или статистическими. Например, , ,  и т.д.

Выборочные характеристики являются приближенными оценками генеральных параметров. Это величины случайные, варьирующие около своих генеральных параметров.

Пусть исследуется количественный признак Х и из генеральной совокупности извлечено k выборок по n наблюдений:

Подсчитаем некоторые статистики U*, V*, W* (например, , Мо, Ме) генеральных параметров U, V, W. Получим:   – ряд возможных значений случайной величины u* или ее выборочное распределение.

Аналогично можно найти выборочные распределения случайных величин V*, W*. В большинстве случаев средние характеристики имеют нормальный закон распределения.

Определение  Характеристики, вычисленные одним числом, называются точечными оценками генеральных параметров.

Такие оценки должны быть:

1)  состоятельными, т.е. при  U*→ U_г..

2)  эффективными, т.е. оценка U*должна иметь наименьшую дисперсию (или случайную вариацию) по сравнению с другими аналогичными оценками. Например, для трех показателей, описывающих положение центра нормального распределения признака Х, , Мо, Ме наиболее эффективной будет оценка , наименее эффективной – Мо. Для дисперсий этих оценок характерно неравенство .

3)  несмещенные оценки, если математическое ожидание ее выборочного распределения совпадает со значением генерального параметра.

Доказано, что  - оценка Мг,  – оценка Dг, S_Xu – оценка СКО σ_г.

При выборке малого объема точечная оценка параметра может значительно отличаться от генерального значения. В таких случаях используют интервальные оценки. Интервальная оценка определяется двумя числами – границами интервала; такая оценка позволяет установить точность и надежность оценки.

Пусть по данным выборки подсчитана статистика U* - оценка генерального параметра U_г. U*тем точнее определяет U_г, чем меньше  или при , δ – точность оценки.

Так как работаем со статистическим материалом (массовыми однородными объектами), то категорически утверждать, что оценка U* удовлетворяет неравенству  нельзя. Можно говорить лишь о вероятности γ, с которой это неравенство осуществляется.