Конспект лекций по дисциплине "Теория вероятностей и математическая статистика", страница 30

Числовые характеристики распределения:

;  ;

; ; величина Х моды не имеет. Вероятность попадания равномерно распределенной величины Х в заданный интервал .

б) Нормальный закон распределения – самый распространенный в нашем мире.

Определение    Случайная величина Х распределена нормально, если ее плотность вероятностей , при этом числа а и s  называются параметрами нормального распределения, коротко N(a;s). График дифференциальной функции нормального распределения называют нормальной кривой или кривой Гаусса.

Исследуем f(x): 1) о.о.ф. ;

2) имеет один экстремум – тах в ;

3) имеет две точки перегиба при х= а - s , х = а + s;

4) симметрична относительно прямой Х = а

5) имеет горизонтальную асимптоту у = 0,

; .

6) .

Если для случайной величины Х, нормально распределенной, параметры распределения а = 0, s = 1, то  – это дифференциальная функция j(Х) Лапласа, табулированная, используемая ранее в локальной теореме Лапласа.

Определение  Нормальная случайная величина Х с параметрами а = 0, s =1, (N(0;1)) называется нормированной нормальной случайной величиной.

Следовательно, дифференциальная функция Лапласа j(Х) есть плотность нормированного нормального распределения.

Определение  Нормированием случайной величины Х называется линейная операция  ;  ;  .

Если в формуле f(x) изменяется параметр а, то кривая f(x), не изменяя формы, перемещается вдоль оси ОХ  в точку симметрии х = а.

Если изменяется параметр s, то кривая j(Х) либо уплощается при увеличении s, либо становится более островерхой при уменьшении s.

Найдем числовые характеристики нормально распределенной величины Х

 

.

Следовательно, М(Х)=а.

Аналогично, можно показать, что . Известно, что . Найдем