Конспект лекций по дисциплине "Теория вероятностей и математическая статистика", страница 45

Определение Доверительной вероятностью называется вероятность

На практике γ: 0,9; 0,95; 0,99; 0,9999, в зависимости от объекта и целей исследования (вероятность практически достоверного события).

Противоположная вероятность α = 1 – γ называется уровнем значимости (вероятность практически невозможного события), α: 0,1; 0,05; 0,001; 0,0001. Интервал  или  называется доверительным, нижняя граница U* - δ, верхняя граница U* + δ.

Говорим, что доверительный интервал заключает в себе U_г с вероятностью (надежностью) γ.

Для любой выборочной характеристики по соответствующей методике можно найти доверительный интервал с надежностью γ.

Например, пусть количественный признак Х распределен нормально, причем М_Г = а неизвестно, а СКО σ_Г = σ. Найдем доверительный интервал параметра а (по-другому, а есть истинное значение случайного признака Х). Будем оценивать неизвестное математическое ожидание признака Х по выборочной средней .

 с одной стороны. С другой стороны . Для  СКО  . Тогда  ;    и   – точность оценки.

Следовательно, .

Итак, имеем   и  .

Отсюда ;  и t можно найти по таблице функции Ф(х).

Таким образом, интервал  будет доверительным для параметра а с надежностью γ.

Пример  Количественный признак Х распределен нормально и σ = 3. Найти доверительный интервал для параметра а с надежностью γ = 0,95, если проведено n = 36 наблюдений и  = 4,1.

2Ф(t) = 0,95;  Ф(t) = 0,475;  t = 1,96.

Точность оценки .

Доверительный интервал: 4,1 – 0,98 < a <4,1 + 0,98 или 3,12< a < 4,08.

Надежность γ = 0,95 указывает, что, если будет произведено большое количество k выборок, то в 95% из них параметр а действительно заключен в этих границах; в 5% этих выборок параметр а может выйти за эти границы, т.е. доверительная вероятность γ не связана с оцениваемым параметром, она связана с границами доверительного интервала, которые изменяются от выборки к выборке.

Рассмотрим случай, когда СКО σ_Г = σ неизвестно и признак Х распределен нормально. Задача была решена английским статистиком В. Госсетом (псевдоним Стьюдент).

Случайная величина  имеет закон распределения, не зависящий от а и σ, зависящий только от n, называется  t-распределение или распределение Стьюдента. Дифференциальная функция этого распределения (плотность вероятности) – S(t; n).  Тогда  .

Доверительный интервал:   или , величина t_γ табулирована при любых γ и n.

Пример  Количественный признак Х генеральной совокупности распределен нормально. По выборке объемом n = 16 найдены  и . Оценить неизвестное значение а признака Х с помощью доверительного интервала при надежности γ = 0,95.