В данной задаче первоначальный график платежей заменяется новым, который должен гарантировать кредитору точно такой же доход, как и при возврате кредита по первому графику. Суммы погашающих платежей и по первому, и по второму графику с учетом фактора времени должны дать одинаковый результат. В этом и состоит условие финансовой эквивалентности различающихся схем платежей. Это условие обеспечивается применением единой годовой эффективной ставки процента для соизмерения разновременных денежных сумм. Построим временную диаграмму для первой схемы:
Q
1 месяц
1,5 1,5 1,5 1,5 1,5 1,5 1,5 1,5 1,5 1,5
Временная диаграмма нового графика платежей:
Q
20 дней 1 месяц
P1P2P3P4P5P6P7P8P9P10
Найдем задолженность фирмы на начало периода:
где rt – ставка процента за период.
Ставка процента за месяц при годовой эффективной ставке 18% равна
.
Используя известную из курса школьной математики формулу, найдем сумму геометрической прогрессии с числом членов 10:
.
Отсюда Q=1,5´9,405568=14,108351 млн. руб.
В соответствии с новым графиком эта задолженность должна быть погашена десятью равными платежами, первый из которых выплачивается спустя 20 дней, а последующие – ежемесячно. Запишем уравнение эквивалентности :
где r20– ставка процента за 20 дней, r1– ставка процента за месяц.
Найдем ставку процента за 20 дней:
.
Перепишем уравнение:
.
Сумма ряда уже подсчитана, находим размеры ежемесячных выплат:
руб.
Таким образом, выплачивая как по 1 500 000 руб. по 1-ым числам в течение 10 месяцев, так и выплачивая 1 513 666 руб. по 20-ым числам, должник обеспечивает кредитору доходность на уровне 18% годовых.
задача 11.
Фирме X была предоставлена кредитная линия на 1 млн. рублей – в течение 5 месяцев по 1-м числам она брала в банке по 200 тыс. руб. Погашение долга предусматривалось тремя равными ежемесячными платежами ровно через 4 месяца после получения последних 200 тысяч. Найдите величины этих платежей, если для соизмерения денежных сумм во времени используется годовая эффективная ставка 13%?
Построим временную диаграмму платежей
200 200 200 200 200
t
4 мес.
P1= P2= P3=?
Запишем условие эквивалентности получаемых в кредит и возвращаемых денежных сумм с учетом фактора времени, приводя платежи к моменту окончательного погашения кредита с помощью множителей наращения. Наращение денежных сумм осуществляется по действующей на рынке ставке процента за соответствующий период в месяцах.
.
.
За первую сумму 200 000 руб. заемщик должен заплатить по ставке за 9 месяцев, за последующие – по уменьшающейся ставке за 8,7, 6 и 5 месяцев. Левая часть уравнения дает сумму, которую заемщик вернул бы в случае единовременного возврата кредита спустя 10 месяцев после получения первых 200 тысяч рублей.
Эта сумма равна 200 000×5,425=1 085 002,35 руб.
В правой части уравнения записано, что три равных платежа должны обеспечить погашение эквивалентной суммы при приведении к концу периода. Из записанного уравнения находим величины этих платежей.
руб.
Таким образом, фирма должна выплатить три раза по 357 990 руб. 25 коп.
задача 12
Единовременно полученный кредит сроком на 3 года погашался в течение этого срока ежемесячно равными суммами. Для соизмерения денежных сумм во времени использовалась годовая эффективная ставка R. После совершения последнего, 36-го платежа, заемщик обнаружил, что в сумме он заплатил банку ровно в 1,5 раза больше, чем брал у него взаймы. Каково было значение годовой эффективной ставки?
Временная диаграмма платежей выглядит следующим образом:
Q
36 мес.
t
PPPP. . .PP
Из условия задачи следует, что сумма платежей P, приведенных к моменту выдачи кредита с помощью коэффициентов дисконтирования, равна величине кредита Q, а по номиналу в полтора раза превышает его. Эти соотношения дают систему из двух уравнений:
Выразим P через Q (то есть,
)
и подставим в первое уравнение:
.
Отсюда:
.
Уважаемый посетитель!
Чтобы распечатать файл, скачайте его (в формате Word).
Ссылка на скачивание - внизу страницы.