Задача 1
Годовая эффективная ставка процента по срочным вкладам на год во всех банках составляет 20%. Пусть вероятность банкротства любого банка в течение ближайшего года составляет 10%. Банкротство банка означает потерю всех вложенных в него денег. Вкладчик распределяет свои средства (1000 рублей) поровну между всеми имеющимися в городе банками. Определите математическое ожидание получаемой через год суммы, вероятности получить максимум, получить часть суммы и потерять все в случае, если: а) в городе один банк; б) в городе два банка; в) в городе три банка; г) в городе четыре банка. Задачу решить в предположении, что банкротство одних банков никак не сказывается на финансовом положении других.
Введем условные обозначения.
Величина сбережений в начале года W0 = 1000 руб.
Годовая эффективная процентная ставка по депозитным вкладам r = 0,2.
Величина сбережений в конце года W1 = W0×(1+r).
Вероятность банкротства i-го банка P{Бi} = 0,1; i=1, 2, 3, 4.
При любой стратегии вкладчик может потерять весь капитал или его часть или сохранить его и получить проценты. В основе всех возможных исходов для вкладчика лежат 2 элементарных события: «банкротство i-го банка» (закодируем его цифрой 0) и «благополучие i-го банка» (закодируем его цифрой 1).
Рассмотрим все 4 возможные стратегии вкладчика.
1. Все деньги помещены в один банк.
Здесь возможны два исхода. Вкладчик может потерять все деньги, и величина его сбережений в конце года W1 составит 0 руб. В противном случае вкладчик по истечении срока хранения получит свои деньги с процентами (W1=1000×1,2=1200 руб.). Обозначим эти события как А и В и вычислим вероятность их наступления.
P{А} = 0,1;
P{В} = 1-0,1 = 0,9 (как вероятность противоположного события).
Вычислим математическое ожидание величины сбережений W1 через год. Математическое ожидание показывает результат «осреднения» случайной величины W1 с использованием вероятностей событий А и В в качестве весов.
М{W1} = 0×0,1 + 1200×0,9= 1080 руб.
В данной задаче математическое ожидание понимается как средний итог хранения денег в банке. Если такой вклад ежегодно открывается и закрывается в течение многих лет, то с большой вероятностью можно ожидать, что в 1 случае из 10 вкладчик потеряет свои деньги, а в 9 случаях из 10 ‑ получит 1200 руб.
2. Вкладчик помещает по 500 руб. в 2 банка.
При этой стратегии возможны следующие исходы, образующие полную группу событий:
- событие А – вкладчик теряет все деньги, W1 = 0 руб. Такой исход возможен только в случае одновременного банкротства обоих банков, то есть, в закодированном виде - события {0 0}.
P{А} = 0,1×0,1 = 0,01
- событие С – вкладчик теряет половину вложенных средств, W1=500×1,2=600 руб. Это событие может быть результатом как разорения первого банка при сохранении второго, так и разорения второго при сохранении первого, то есть событий {0 1} и {1 0}.
- событие В – вкладчик получает всю сумму, предусмотренную договором, W1=2×500×1,2=1200 руб. Такой исход возможен только если оба банка преуспевают, то есть происходит событие {1 1}.
P{В} = 0,9×0,9 = 0,81;
М{W1} = 0×0,01 + 600×0,18+ 1200×0,81 = 1080 руб.
3. Вкладчик помещает по 333,33 руб. в 3 банка.
При этой стратегии возможны следующие исходы, образующие полную группу событий:
- событие А – вкладчик теряет все деньги, W1 = 0 руб. Это означает, что произошло одновременное банкротство всех трех банков – событие {0 0 0}.
P{А} = 0,1×0,1×0,1 = 0,001.
- событие E вкладчик теряет две трети вложенных средств, W1=333,33×1,2=400 руб. Такой исход возможен, если произойдет банкротство любых двух из трех банков, то есть событие {0 0 1}, или {0 1 0}, или {1 0 0}.
P{E} = 0,1×0,1×0,9 + 0,1×0,9×0,1 + 0,9×0,1×0,1 = 0,027.
В общем случае число комбинаций из n объектов по m выбранным объектам вычисляется по следующей формуле:
Уважаемый посетитель!
Чтобы распечатать файл, скачайте его (в формате Word).
Ссылка на скачивание - внизу страницы.