Конспект лекций по дисциплине "Высшая математика", страница 6

Проще говоря, линейные преобразования над уравнениями системы не изменяют ее решений.

Рассмотрим метод Гаусса на примерах

1)   ;  ;  .

Расширенная матрица системы

Запишем СЛАУ в виде матричной схемы Гаусса:

.

Прямой ход метода Гаусса закончен. Матрица А свелась к треугольному виду.

Обратный ход метода Гаусса: 3-е уравнение – 25z = – 75;

отсюда z = 3; 2-е уравнение      – 7у – 8z = -38;  7у = 14;  у = 2;

1-е уравнение   x + 2y + 3z = 14;  x = 14 – 4 – 9;   x = 1.

Решение системы единственное:  х = 1;  у = 2;  z = 3.

2) ;   .

Матрица А свелась к трапецеидальному виду, система имеет противоречивое уравнение 3-е и, следовательно, несовместна.

3) ;

Матрица А свелась к трапецеидальному виду. В системе появилось «пустое» 3-е уравнение. Прямой ход метода Гаусса закончен.

Обратный ход: .

Имеем 2 уравнения и 3 неизвестных, т.о., одна переменная, например, z свободна, .

; отсюда . Тогда  ;  .

Данная система неопределенная, имеет бесконечно много решений:

Частное решение получаем, задавая конкретное значение z, например, z = 0.

Вывод    1. Правило Крамера.  СЛАУ квадратная (m = n), невырожденная (Δ ≠ 0).   ;   ;   .

Δ – главный определитель системы; Δх, Δу, Δz – вспомогательные определители.

2. Матричный метод.  СЛАУ квадратная, невырожденная. .

3. Метод Гаусса.  СЛАУ произвольная. С помощью линейных преобразований над строками в матрице Гаусса последовательно исключаем переменные из уравнений. В результате решения СЛАУ получим один из случаев:

а) матрица А свелась к треугольному виду; решение СЛАУ единственное, находится обратным ходом;

б) матрица А свелась к трапецеидальному виду с противоречивой строкой; СЛАУ несовместна;

в) матрица А свелась к трапецеидальному виду с «пустой» строкой. СЛАУ неопределенная, имеет бесконечно много решений, т. к. появляются «свободные» переменные.

Замечание   Однородная СЛАУ всегда совместна, т. к. всегда имеет нулевое (тривиальное) решение. Такие системы решаем точно так же, как и неоднородные.

Пример  ;.

Матрица А свелась к трапецеидальному виду с «пустой» строкой. СЛАУ неопределенная: ;   у = – 27.   х = 7.   Решения СЛАУ:   .