Конспект лекций по дисциплине "Высшая математика", страница 26

Все такие функции называются монотонными.

Определение  Функция у(х) называется четной, если ; нечетной, если .

Четные функции симметричны относительно оси ОУ (осевая симметрия); нечетные функции симметричны относительно О(0;0) (центральная симметрия). Примеры.

Определение  Окрестностью точки  называется любой симметричный открытый интервал на оси ОХ с центром в этой точке.

Аналогично определяется окрестность точки  на оси ОУ.

Примеры:  1) δ – окрестность точки  х = а – интервал (а – δ; а + δ) или .

2) ε – окрестность точки  у = А – интервал (А- ε; А + ε)  или .

Предел функции

Пусть переменная х принимает значения сколь угодно мало отличающиеся от числа а, но не равные ему. Говорим, х стремится к а и пишем .

Пример:  1)  х:  1,9;  1,99;  1,999; ….

                 2)  х:  3,1;  3,01;  3,001; ….

Пусть    и аргумент в своем изменении принимает значения

           х:  1,9;  1,99;  1,999; …;

тогда у:  1,1;  1,01;  1,001; ….

Пишем: .

Определение 1  Число А называется пределом функции  при , если для любых значений х, сколь угодно мало отличающихся от  а,  сколь угодно мало отличается от А.

Определение 2 Число А называется пределом функции  при , если для любого  существует такое , что из условия   следует .

Из этого определения следует, что если х попадает в δ-окрестность точки , то  попадает в ε-окрестность точки  у = А.

Если аргумент х в своем изменении неограниченно увеличивается, то говорим ; если же х неограниченно уменьшается, то говорим .

Примеры:  1)  

                  

              

Пишем:  .

2)       х:   0;  -10;    -100; …;

   : 0; 100;  10000; …;

Пишем: , т.е. в данном случае при неограниченном убывании аргумента х, т.е. при , функция  неограниченно возрастает, т.е. .