Конспект лекций по дисциплине "Высшая математика", страница 40

Тогда, если  изменяет свой знак в окрестности критической точки , то точка  – точка экстремума . Если  изменяет свой знак с  на , переходя через точку  в направлении возрастания х, то в точке   имеет , если с  на , то в точке    имеет .

Вывод  1) найти  и критические точки I рода.

2) О. о. ф. поделится этими точками на интервалы монотонности.

В каждом интервале определим знак , взяв одну пробную точку.

3) Укажем точки экстремума, тип экстремума, найдем координаты этих точек на плоскости.

3. Интервалы выпуклости-вогнутости графика . Точки перегиба

Определение  График  называется выпуклым на интервале , если для любого  график расположен ниже касательной к  в точке х.

График  вогнут на , если для любого  график  расположен выше касательной к  в точке х.

Определение  Точки графика , отделяющие интервалы вогнутости от интервалов выпуклости, называются точками перегиба графика .

Точка  – точка перегиба. Касательная к  в точке х₀ расположена с той и другой стороны кривой.

Необходимые и достаточные условия выпуклости-вогнутости

графика

Для того, чтобы график  был выпуклым (вогнутым) в интервале , необходимо и достаточно, чтобы для любого   ().

Необходимое условие существования точки перегиба

Если точка  есть точка перегиба графика , то в этой точке  или  не существует.

Такие точки , в которых обращается в ноль или не существует, называются критическими II рода, они принадлежат о.о.ф. и определяют интервалы выпуклости-вогнутости.