При значении на расстоянии длины волны укладывается
большое число пространственных периодов. Такая структура может быть названа
частой периодической структурой.
Если структура частая, то можно считать, что по отношению к верхнему полупространству граница структуры х = 0 (рис. 6.3) проявляет некоторые усредненные свойства, а волновой процесс определяется главным образом нулевой гармоникой.
Рис. 6.3. Частая периодическая структура.
В пазах структуры может существовать поле, показанное на рис.6.3. Волновой процесс можно считать в целом Е - волной. Можно считать поле в пределах паза не изменяющимся в направлении оси z, а в направлении оси х поле образует стоячую ТЕМ - волну, в которой
(6.28)
так как выполняется граничное условие при
х = d.
Между комплексными амплитудами на поверхности х = 0 можно найти следующее соотношение
(6.29)
где Z0 = 120 p - характеристика сопротивления свободного пространства.
Пренебрегая площадью ребер при х = 0, можно сказать, что эта граница структуры проявляет себя как ипедансная поверхность, характеризуемая ипедансом ZS.
Можно сделать вывод, что вдоль частой ребристой поверхности будет распространяться поверхностная Е - волна, по аналогии распространения Е - волны вдоль поверхности раздела двух сред при углах падения больших критического и параллельной поляризации падающей на поверхность раздела волны.
Фазовая скорость такой волны меньше фазовой скорости волны в свободном пространстве, то есть волна замедленная. В этом случае ребристая структура играет роль “искусственного диэлектрика”.
6.3. Решение двухмерного уравнения Гельмгольца методом разделения переменных
Двумерное уравнение Гельмгольца как было показано в 6.1 имеет вид
(6.30)
В декартовой системе координат двумерное уравнение Гельмгольца имеет вид
(6.31)
Предположим, что можно представить в виде произведения
функций разных координат
.
Подставим это представление в (6.28) и получим
После деления всех членов на ХY имеем
(6.32)
Слагаемые в уравнении
(6.32) - функции разных аргументов, то есть они независимы, а следовательно
каждое слагаемое равно постоянной величине. Обозначим эти постоянные величины
как и
.
Очевидно, что
.
Вместо (6.29) получаем два обыкновенных дифференциальных уравнения
(6.33)
Общее решение дифференциальных уравнений, как известно, можно найти как в тригонометрической, так и в экспоненциальной форме. Выберем тригонометрическое представление
Х = соscx
x +
sincx
x;
Y = cos cy y +
sin cy y; (6.34)
Для первой краевой
задачи, рассматривая прямоугольную область, показанную на рис.6.4, граничное
условие на L^ означает следующие требования
при х = 0; у = 0; х = а; у = b.
. (6.35)
Рис. 6.4. Постановка краевых задач для прямоугольной области
с границей L^.
Из граничных условий Т(0,
у) = Т(х, 0) = 0 получаем =
= 0. Из условий
(а,
у) =
(х, в) = 0 получаем
;
, где m, n = 1, 2, 3...
Окончательно имеем
(х, у) = N sin
x × sin
y (6.36)
(6.37)
Функции
(6.38)
называются собственными функциями, которым соответствуют
собственные значения ,
-
неопределенные постоянные.
Для второй краевой задачи
на решение (6.35) следует наложить условие , на L^ , что означает
(6.39)
Дифференцируя выражение
(6.35) по х, а затем по у и приравнивая согласно (6.39) к нулю производные,
находим, что В = D = 0 и ;
. Теперь
(6.40)
Теперь собственные функции принимают вид
(6.41)
Теперь значения m = 0, n = 0 не исключатся.
В цилиндрической системе координат двумерное уравнение Гельмгольца имеет вид
(6.42)
Решение уравнения ищем в
виде произведения .
Подставим записанное значение в (6.42) и получим
Уважаемый посетитель!
Чтобы распечатать файл, скачайте его (в формате Word).
Ссылка на скачивание - внизу страницы.