Планирование и организация эксперимента, курс лекций, страница 7

МНК обладает тем достоинством, что позволяет в явном виде записывать выражения для вычисления искомых коэффициентов модели. Кроме того, значительно упрощается дальнейший статистический анализ получаемой модели.

По сравнению с методом МНК, например, метод наименьших модулей для подбора коэффициентов искомой модели требует сложной итерационной (последовательной) процедуры.

.

Дальнейший статистический анализ модели с коэффициентами, полученными МНМ, затруднен.

При построении многомерных статистических моделей их выражение в матричной форме записывается в следующем виде:   или .

 - число параметров модели;

Х – матрица входных переменных и их эффектов;

В – вектор оцениваемых параметров модели;

Е – вектор случайных ошибок в N опытах плана.

;

Х – матрица исследуемых переменных и их коэффициентов;

Х^Т – транспонированная матрица Х;

(ХХ^Т)^-1 – обратная матрица.

Алгоритм регрессионного анализа позволяет получить значения коэффициентов модели, оценки дисперсий в определении каждого коэффициента, проверку значимости этих коэффициентов, и проверку адекватности модели.

С= (ХХ^Т) – информационная матрица плана.

 - нормированная коваряционная матрица. . Это лучший план, когда .

V=(ХХ^Т)^-1 коваряционная матрица плана - н.и.м.

.

Смысл оптимального плана состоит в том, чтобы минимизировать объем эллипсоида рассеяния значений параметров модели, то есть обеспечить их наилучшие совместные оценки при заданном числе наблюдений.

Для простейших планов 2 ^к,  где каждый из к факторов варьируется только на 2-х уровнях, выполняются условия универсальной оптимальности, в том числе D оптимальности и эллипсоид рассеяния имеет вид круга для модели с двумя параметрами и вид шара или гипершара для модели с большим числом параметров. Ни какой другой план с тем же числом наблюдений не даст более точные (а только худшие) оценки модели плана 2 ^к.