Основные положения теории электромагнитного поля. Плоские электромагнитные волны. Волны в регулярном волноводе. Потери в волноводах. Возбуждение электромагнитных волн

Глава 1. Основные положения теории электромагнитного поля

1.1. Основные законы электродинамики

Согласно основным положениям макроскопической электродинамики электромагнитное поле (ЭМП) в каждый момент времени определяется векторами  и , характеризующими электрическое поле, и векторами  и , характеризующими магнитное поле. В уравнениях ЭМП, помимо этих четырех векторов, фигурируют еще две величины: плотность заряда  и плотность тока ; они характеризуют источники поля – заряды и токи, наличие которых приводит к возбуждению поля в окружающем пространстве. Уточним: в макроскопической электродинамике  есть плотность свободного электрического заряда, а  - плотность электрического тока (тока проводимости). При отсутствии макроскопических перемещений вещества плотность тока и плотность заряда связаны уравнением непрерывности:

,                                               (1.1)

выражающим тот факт, что ток проводимости обусловлен движением свободных зарядов, подчиняющихся закону сохранения электричества.

Векторы ЭМП, а также величины  и  зависят от трех пространственных координат (например, от декартовых координат x, y, z) и времени t.  Они связаны между собой системой уравнений Максвелла:

,                                     (1.2)

,                                                  (1.3)

,                                              (1.4)

.                                                   (1.5)

При этом здесь и далее используется абсолютная система единиц СГС; с – скорость света в пустоте, равная . В уравнении (1.2) учтены также так называемые сторонние токи , которые считаются заданными. Они возбуждают поля, но сами не порождаются рассматриваемыми ЭМП, в этом смысле они являются сторонними этому полю. Эти уравнения являются обобщением опытных данных в дифференциальной форме. Так, уравнение (1.4) есть закон электромагнитной индукции Фарадея, (1.2) – закон Био – Савара – Лапласа. Уравнения (1.3) и (1.5) – законы Кулона и Гаусса соответственно, показывающие как ЭМП возбуждается своими источниками.

Приведенная система уравнений справедлива для ЭМП в любых средах. Однако этих уравнений недостаточно для решения конкретных задач, ибо их число меньше числа неизвестных. Недостаточность этой системы уравнений объясняется именно ее универсальностью – она применима к ЭМП в любых средах, между тем как параметры, характеризующие среду,  в ней отсутствуют. Поэтому при решении конкретных задач эти уравнения необходимо дополнить системой материальных уравнений, в которых учитывается влияние среды на протекающие в ней электромагнитные явления.

В электродинамике рассматриваются в первую очередь простейшие материальные уравнения:

, ,                                           (1.6)

,                                                (1.7)

где  и  - диэлектрическая и магнитная проницаемость среды соответственно,  - проводимость. Они охватывают электромагнитные свойства достаточно большого числа сред. Так, если в уравнениях (1.6), (1.7) ,  и  - скаляры, то среда считается однородной, изотропной и линейной (для неоднородных веществ они зависят от координат).

1.2. Уравнения ЭМП в комплексной форме

При исследовании электромагнитных колебаний и волн большое значение имеют электромагнитные поля, изменяющиеся во времени по синусоидальному закону, т.е. колеблющиеся с вполне определенной частотой. Такие поля называют монохроматическими или гармоническими. При математическом исследовании монохроматических процессов, подчиняющихся линейным уравнениям, целесообразно ввести комплексные обозначения.

Поскольку сами уравнения Максвелла (1.2) – (1.5) линейны, то при линейном характере материальных уравнений (1.6), переход к комплексным обозначениям осуществляется следующим образом. Векторам напряженности электрического и магнитного полей в данной точке  и  приводятся в соответствии комплексные векторные амплитуды  и . Связь между физическими величинами и их комплексными амплитудами дается следующими соотношениями:

, ,                             (1.15)

где Re – вещественная часть комплексного вектора, стоящего в фигурной скобке;  - круговая частота исследуемого монохроматического процесса, связанная с обычной частотой f и периодом колебаний T формулой

.                                                     (1.16)

Аналогичным образом вводятся комплексные амплитуды для всех физических величин, входящих в уравнения электродинамики и колеблющихся с частотой .

Подставляя выражения (1.15) в уравнения Максвелла (1.2) и (1.4) и пользуясь формулами дифференцирования и материальными соотношениями (1.6), получаем уравнения для комплексных амплитуд:

,                                           (1.16)

.                                             (1.17)

Заметим, что в случае немонохроматических процессов для исследования электромагнитных волн с произвольной зависимостью от времени можно использовать спектральное разложение, например, разложение поля в интеграл Фурье:

, ,                  (1.18)