Физика \ Электродинамика

Основные положения теории электромагнитного поля. Плоские электромагнитные волны. Волны в регулярном волноводе. Потери в волноводах. Возбуждение электромагнитных волн, страница 5

Итак, принцип поляризационной двойственности дает возможность представить решение уравнений Максвелла в виде суммы фундаментальных решений ТМ и ТЕ типа относительно координаты разделения . Каждое из решений описывается однокомпонентным вектором Герца , для которого справедливо уравнение (1.65). В ряде случаев оно может быть сведено к уравнению Гельмгольца. Отметим, что вывод формул (1.66) и (1.67) основан на условиях (1.57). Если в выбранной координатной системе эти условия не выполняются, то данный способ решения оказывается неприменимым. В такой координатной системе общее решение уравнений поля не распадается на сумму решений электрического и магнитного типов.

Рассмотрим несколько простейших координатных систем, удовлетворяющих условиям (1.57), и запишем выражения для компонент ЭМП.

Декартовая система координат (СК) (x, y, z):

Параметры Ламэ . Оба условия (1.57) выполняются, любая из координат может быть координатой разделения. Пусть .

Уравнение (1.65) принимает вид

(1.68)

и совпадает с уравнением Гельмгольца.

Компоненты электромагнитного поля:

ТМ типа относительно z -

, , ,

, , ; (1.69)

ТЕ типа относительно z -

, , ,

, , . (1.70)

В цилиндрической системе координат :

, .

Условия (1.57) выполняются, если за координату разделения взять z.

Уравнение для вектора Герца также совпадает с уравнением Гельмгольца

(см. формулу (П1.14) Приложения 1), а для компонент ЭМП получаем выражения:

для ТМ типа относительно координаты разделения z -

, , ,

, , ; (1.71)

для ТЕ типа относительно координаты разделения z -

, , ,

, , . (1.72)

Глава 2. Плоские электромагнитные волны

2.1. Плоские волны в однородной изотропной среде

С помощью комплексных уравнений поля исследуем распространение монохроматических плоских электромагнитных волн в однородной безграничной среде с постоянными комплексными проницаемостями и . Плоской электромагнитной волной называется электромагнитное поле, векторы которого в каждый момент времени принимают постоянные значения на системе параллельных плоскостей. Таким образом, если выбрать ось z перпендикулярной этим плоскостям, то в монохроматической плоской волне комплексные амплитуды полей и будут зависеть только от координаты z, но не от координат х и у.

Запишем однородные векторные уравнения Максвелла (1.17), (1.37) в декартовой системе координат х, у, z:

, (2.1)

Для плоской волны производные по х и у равны нулю и уравнения (2.1) значительно упрощаются. Прежде всего, из третьего уравнения каждого столбца получаем

, , (2.2)

откуда видно, что плоские электромагнитные волны в любой среде суть волны поперечные.

Комбинируя затем попарно уравнения, в которые входят Е_х и Н_у, с одной стороны, и Е_у и Н_х, с другой стороны, приходим к двум независимым системам уравнений (в которых символ частной производной заменен на d/dz, поскольку все величины зависят только от z):

, . (2.3)

Исключая из каждой системы какую-нибудь одну функцию, для каждой из четырех величин Е_x, Н_у, Е_у и Н_х получаем простое уравнение

, (2.4)

где - комплексное волновое число в среде. Дифференциальное уравнение (2.4) имеет общее решение

, (2.5)

где C₁, C₂ – произвольные постоянные. Написав для четырех величин Е_х, Н_у, Е_у и Н_х выражения такого вида с разными постоянными и подставив их в уравнения (2.3), приходим окончательно к следующим выражениям:

, ,