Основные положения теории электромагнитного поля. Плоские электромагнитные волны. Волны в регулярном волноводе. Потери в волноводах. Возбуждение электромагнитных волн, страница 40

                                                             (9)

Если часть стенки S1 деформировать до S2, то частота изменится с w1 до w2.

Определим w2 с помощью (8) взяв в качестве ПФ истинное поле для исходного р-ра.

          (10)

Поверхностный интеграл отличен от 0 только на поверхности S2, т.к. ф-я E удовлетворяет ГУ на S. Вычтем (9) из (10), отбрасывая в знаменателе малые слагаемые по ср. с

                                                 (11)

Заменим интеграл по S2 на на интеграл по замкнутой пов-ти S1+S2, учитывая, что в силу ГУ инт. по S1 равен 0.

Знак минус – из-за изменения направления нормали.

Отсюда следует

Подставляя это в (11),  и полагая получим

Эта же ф-ла м.б. использована и в более общем случае. Например, для определения изменения собственной частоты р-ра при внесении разл возмущающих тел

Р и М – электрический и магнитный моменты возмущающих тел.

Приложение 1

Основные формулы векторного анализа

В криволинейной системе координат () квадрат элемента длины  и элемент объема  выражаются формулами  и  соответственно, где  - параметры Ламэ.

                                   (П1.1)

- параметр Ламэ по координате . Параметры Ламэ  и  определяются аналогично (П1.1).

Градиент функции

,                       (П1.2)

где , , и  - единичные орты в направлении координатных осей  и . Дивергенция вектора

           (П1.3)

Ротор вектора

                          (П1.4)

Оператор Лапласа (Лапласиан)

      (П1.5)

Часто встречающиеся тождества и соотношения:

Ротор ротора                                                (П1.6)

Ротор градиента                                                                    (П1.7)

Дивергенция ротора                                                               (П1.8)

Дивергенция градиента                                                   (П1.9)

Выражения градиента, дивергенции, ротора и оператора Лапласа в декартовой системе координат (x, y, z):

                          (П1.10)

Выражения градиента, дивергенции, ротора и оператора Лапласа в цилиндрической системе координат :

                        (П1.11)

                                  (П1.12)

                                     (П1.13)

                               (П1.14)

Оператор Лапласа от вектора определяется в соответствии с формулой (П1.6) и имеет вид

       (П1.15)

Выражения градиента, дивергенции, ротора и оператора Лапласа в сферической системе координат

            (П1.16)

                          (П1.17)

      (П1.18)

       (П1.19)

.

Интегральная формула Грина:

,                        (П1.20)

где S – замкнутая поверхность, ограничивающая объем V, а  - внешняя нормаль к этой поверхности.

Формула Гаусса – Остроградского

                                      (П1.21)

Приложение 2

Цилиндрические функции

Цилиндрические функции являются решениями уравнения Бесселя

,                                 (П2.1)

и называются функциями Бесселя порядка . Подставляя решение в виде степенного ряда типа , находим, что  и  при j = 0, 1, …. Коэффициенты при всех нечетных степенях  равны нулю. Воспользовавшись итерацией рекуррентной формулы, приходим к следующему выражению для функции Бесселя, или цилиндрической функции первого рода, порядка  и :

,                         (П2.2а)

,                      (П2.2б)

где  - гамма – функция, которая для Re s > 0 определяется формулой

                                        (П2.3)

Основные свойства гамма – функции

, ,                           (П2.4)

Если n – целое, то из соотношений (3.8) следует .

Если  не целое число, то функции  и  образуют пару линейно – независимых решений дифференциального уравнения (П2.1). Однако при целых  эти решения, как известно, линейно зависимы. Действительно, при , как видно из соотношений (П2.2), имеет место соотношение