Физика \ Электродинамика

Основные положения теории электромагнитного поля. Плоские электромагнитные волны. Волны в регулярном волноводе. Потери в волноводах. Возбуждение электромагнитных волн, страница 4

Решениями уравнений Максвелла в криволинейной ортогональной системе координат являются шесть функций . В ряде случаев удается все эти шесть функций, входящих в уравнения Максвелла, выразить через две вспомогательные функции U и V, удовлетворяющие уравнениям второго порядка (волновому уравнению или уравнению, приводящему к волновому). Это возможно, если уравнения (1.49) – (1.52)

(1.49)

(1.50)

, (1.51)

, (1.52)

допускают решения электрического и магнитного типов; тогда функция U однозначно определяет электромагнитное поле электрического типа, функция V - поле магнитного типа.

Решением электрического типа (или поперечно-магнитным полем) – ТМ - относительно какой-либо координаты называется такое решение уравнений (1.49) – (1.52), у которого и ,а решением магнитного типа (поперечно-электрическим полем) - ТЕ — такое, у которого и .

Сформулируем принцип поляризационной двойственности. В криволинейной ортогональной системе координат (), обладающими следующими свойствами:

, (1.57)

( называется координатой разделения), решение системы однородных уравнений Максвелла для однородных сред может быть представлено суперпозицией фундаментальных решений ТМ и ТЕ относительно координаты разделения . При этом каждое ТМ и ТЕ решение описывается однокомпонентным электрическим (или магнитным) вектором Герца, направленным по координате .

, , (1.58)

где - единичный орт в направлении координаты .

Докажем это утверждение. Будем искать решение системы уравнений Максвелла в виде суммы , , таких что каждое из решений , определяется через электрический и магнитный векторы Герца и согласно соотношениям (1.56) при отсутствии источников. Пусть векторы Герца имеют только одну компоненту, т.е. выполняются соотношения (1.58). Нетрудно убедиться, что в этом случае выполняются равенства и , что соответствует поперечно-магнитному ТМ и поперечно-электрическому ТЕ полям. Векторы Герца удовлетворяют однородным уравнениям

. (1.59)

Будем искать решения этих уравнений в виде

, (1.60)

где f - некоторая неизвестная функция. Подставим (1.60) в (1.59) и распишем оператор Лапласа от векторной величины по формуле (П1.6) Приложения 1.

(П1.6)

Получим уравнение

, (1.61)

где через обозначена некоторая новая скалярная неизвестная функция. Найдем ее. Для этого распишем проекции уравнения (1.61) в криволинейной ортогональной системе координат () и учтем условия (1.57). Получим систему уравнений

, (1.62)

, (1.63)

, (1.64)

где - поперечная часть оператора Лапласа при (см. формулу (П1.5) Приложения 1)

Интегрируя уравнения (1.62) и (1.63) по и соответственно, получаем выражение для неизвестной функции в виде

и, подставив это выражение в уравнение (1.64), находим

Решение этого уравнения есть . Так как выражения для компонент электромагнитного поля инварианты по отношению к добавлению к вектору Герца произвольной функции , то эту функцию можно положить равной нулю. Таким образом, для электрического и магнитного векторов получаем уравнение