Физика \ Электродинамика

Основные положения теории электромагнитного поля. Плоские электромагнитные волны. Волны в регулярном волноводе. Потери в волноводах. Возбуждение электромагнитных волн, страница 9

Воспользовавшись принципом перестановочной двойственности, из соотношений (3.9), (3.10) получим следующие выражения для поперечно электрического поля ТЕ(Н) относительно z:

, (3.15)

. (3.16)

Электрическое поле имеет одну касательную составляющую

Таким образом, граничное условие (3.2) сводится к условию

на С, (3.17)

и для мембранной функции имеем граничную задачу Неймана: ищется решение уравнения (3.7) совместно с граничными условиями (3.17).

Данная граничная задача для функции имеет нетривиальное решение лишь при некоторых собственных значениях , … , , … , образующих ее спектр (вообще говоря, отличный от спектра рассмотренной выше задачи Дирихле). Эти собственные значения также образуют возрастающую (точнее, неубывающую) последовательность. Каждому собственному значению соответствует некоторая собственная функция , дающая распределение поля данной магнитной волны, и продольное волновое число . Для магнитных волн соотношения (3.12) - (3.14) также справедливы, в частности распространение или затухание данной волны имеет место в зависимости от соотношения между рабочей длиной волны и критической волной . Последняя зависит лишь от геометрии поперечного сечения и от номера магнитной волны. Заметим, что в число собственных значений не включено значение = 0, которому соответствует собственная функция = const, удовлетворяющая уравнению (3.7) и условию (3.17). Действительно, такая собственная функция приводит по формулам (3.15) , (3.16) к электромагнитному полю, тождественно равному нулю, и потому не представляет интереса.

Изложенная выше теория электрических и магнитных волн в волноводах показывает, что потенциалы облегчают решение электродинамических задач. В самом деле, с помощью электрического и магнитного векторов Герца задача об электромагнитных волнах в волноводе произвольного поперечного сечения сведена к двум граничным задачам для двумерного волнового уравнения. Эти задачи давно исследованы в связи с другими физическими проблемами. В следующих параграфах изложенная выше общая теория электрических волн в волноводе с произвольным поперечным сечением будет применена к волноводам с прямоугольным и круговым сечениями.

3.2. Прямоугольный волновод

Выберем начало координат в одной из вершин прямоугольного поперечного сечения и направим ось х вдоль большей стороны а, а ось у - вдоль меньшей стороны b прямоугольника (рис. 3.1). Будем искать решение двумерного волнового уравнения (3.7) методом разделения переменных: а именно напишем для функции выражение

(3.18)

и подставим его в уравнение (3.7). После деления обеих частей уравнения на произведение XY получим

. (3.19)

Из последнего соотношения следует, что каждое слагаемое должно быть постоянной величиной; обозначим эти постоянные через и соответственно. В результате приходим к двум уравнениям

, (3.20)

где в силу соотношения (3.19) должно выполняться равенство

, (3.21)

которое можно рассматривать как продолжение разложения , а именно разложение поперечного вектора на составляющие и ,каждая из которых определяет зависимость потенциалов и полей от поперечной координаты х или у.

Общие решения уравнений (3.20) имеют вид

, , (3.22)

где A₁_i, A₂_i, B₁_i и В₂_i суть произвольные постоянные. Функция должна удовлетворять граничным условиям (3.11), (3.17). Рассмотрим сначала случай ТМ(Е) поля. Имеем