Основные положения теории электромагнитного поля. Плоские электромагнитные волны. Волны в регулярном волноводе. Потери в волноводах. Возбуждение электромагнитных волн, страница 13

3.3. Круглый волновод

Рассмотрим электрические и магнитные волны в волноводе с круговым поперечным сечением радиуса а или, кратко, в круглом волноводе. Для решения двумерного волнового уравнения для мембранной функции (3.7) внутри круглого волновода введем полярную систему координат r,  с центром на оси волновода. Уравнение (3.7) примет вид

.                      (3.35)

Для нахождения решения этого уравнения воспользуемся методом разделения переменных и будем искать неизвестную функцию в виде

.                                          (3.36)

Подставив выражение (3.36) в уравнение (3.7) и разделив его на , получим уравнения для функций  и :

 ,                                             (3.37)

,                              (3.38)

где m – константа разделения.

Общее решение уравнения (3.37) представляется в виде

.

Так как рассматривается однородное уравнение (3.37), то без потери общности можно положить начало отсчета . Из условия однозначности решения (3.37) получаем ограничения на константу разделения m, которая может принимать только положительные целые значения m = 0, 1, 2, …. В этом случае решение не меняется при повороте угла  на .

Решениями уравнения (3.38) являются цилиндрические функции (см. Приложение 2). В качестве линейно независимых решений (3.38) можно выбрать функции Бесселя (П2.2) и Неймана (П2.6) или Ханкеля (П2.7). Однако, в силу требования конечности решения при r = 0, которому функции Неймана и Ханкеля не удовлетворяют согласно выражению (П2.13), окончательно для мембранной функции получаем выражение:

,                                            (3.39)

где С_i - постоянная.

Так как функция  должна удовлетворять граничному усло­вию  при r = а, то для поперечного волнового числа  элек­трических волн в круглом волноводе получаем уравнение

.                                                       (3.40)

Обозначим n - й положительный корень уравнения J_m(x) = 0 через x_mn (см. формулу (П2.16) Приложения 2), тогда для электрических волн возможны значения . Электрическая волна с таким , функция  которой определяется формулой (3.40), называется волной Е_тп в круглом волноводе. Функция  для магнитных волн в круглом волноводе также должна удовлетворять уравнению (3.7) и поэтому представля­ется в том же виде, что и функция  в формулах (3.40). Граничное условие для нее имеет вид (3.17)  при r = а, поэтому поперечное волновое число  магнитной волны должно удовлет­ворять уравнению

.                                            (3.41)

Если через y_тп обозначить п - й положительный корень уравнения , то возможные значения  для магнитных волн в круг­лом волноводе имеют вид . Такое волновое число по оп­ределению соответствует волне Н_тп в круглом волноводе. Заметим, что числа x_m1, x_m2, ... и y_т1, y_т2, ... образуют возрастающие последовательности, в которых наибольший интерес представляют числа x_m1 и y_т1, соответствующие наименьшим значениям  и, сле­довательно, наибольшим значениям критических длин волн . Приведем таблицу значений  для наиболее важных волн в круг­лом волноводе.

Таблица 1

Волна	E01	E11	E21	H01	H11	H21
	1,31	0,82	0,61	0,82	1,71	1,05

Из табл. 1 видно, что наибольшее значение  соответствует магнитной волне H₁₁: для нее критическая длина волны равна 1,71 диаметра волновода. Функция  волны H₁₁ определяется фор­мулой

, ,   = l,841,

, (3.42)

,