Физика \ Электродинамика

Основные положения теории электромагнитного поля. Плоские электромагнитные волны. Волны в регулярном волноводе. Потери в волноводах. Возбуждение электромагнитных волн, страница 24

Индексы s, n и p определяют направления распространения плоских волн, на которые разлагается поле собственных колебаний полости. Двукратное вырождение собственных частот, о котором мы говорили выше, физически связано с тем, что при данном направлении распространения плоской волны ее поляризация может быть произвольной. При сложении плоских волн с одной поляризацией получается первое собственное колебание, при сложении волн с другой, перпендикулярной поляризацией приходим ко второму собственному колебанию, имеющему ту же частоту.

Собственные колебания, у которых один из индексов равен нулю, занимают особое положение. Так, например, тройке чисел 1, 1 и 0 соответствует электромагнитное поле волны Е₁₁₀

, (5.22)

, ,

где . Если в нуль обращаются два индекса, то поле тождественно равно нулю и такие тройки индексов собственных колебаний не дают.

Электромагнитное поле (5.22) колеблется с собственной частотой

(5.23)

Эта частота может быть невырожденной, поскольку тройке чисел 1, 1, 0 соответствует лишь одно собственное колебание (5.22). Если выполняются условия а > 1, b > 1, то эта частота будет наименьшей среди всех частот (5.20), притом невырожденной.

Колебание резонатора называется основным колебанием, если оно имеет наименьшую собственную частоту. Колебание 110 является (при условиях а > 1, b > 1) основным колебанием прямоугольного резонатора и широко применяется на практике.

Структура электромагнитного поля этого колебания изображена на рис. 5.2: электрические силовые линии образуют пучок прямых, параллельных оси z, наиболее густой при х = а/2, у = b/2, а магнитные силовые линии охватывают этот пучок замкнутыми кольцами неправильной формы. Легко показать, что форма магнитных силовых линий та же, что у волны Е₁₁ в прямоугольном волноводе (см. рис.3.2).

В заключение отметим следующую особенность формул (5.17):в выражения для магнитного поля входит множитель ±i, отсутствующий у электрического поля. Это значит, что магнитное поле находится в квадратуре с электрическим, т. е. сдвинуто по фазе на /2. Возвращаясь от комплексных амплитуд к мгновенным значениям полей с помощью формул (1.15), видим, что в некоторый момент времени t электрическое поле исчезает во всем объеме резонатора, а магнитное поле при этом принимает максимальные значения (по абсолютной величине); через четверть периода исчезает магнитное поле, а электрическое достигает максимума и т. д. Таким образом, при собственных колебаниях электромагнитная энергия дважды за период является чисто электрической и дважды чисто магнитной, причем происходит непрерывный переход энергии из электрической формы в магнитную и наоборот. Те же энергетические процессы происходят при свободных колебаниях обычных резонансных контуров L, С, а также других объемных резонаторов без потерь.

Вычислим среднюю за период энергию электромагнитного поля по формуле (1.22)

Тогда электрическая энергия равна

. (5.24)

Магнитная энергия вычисляется аналогичным образом и, с учетом того, что справедлива формула, приходим к выражению

. (5.25)

Можно показать, что этот результат справедлив для всех типов волн.

5.3. Цилиндрические резонаторы

Цилиндрическим резонатором называется отрезок круглого волновода, ограниченный двумя металлическими поперечными стенками z = const. (рис. 5.3). Для построения электромагнитного поля в таком резонаторе воспользуемся развитой выше теорией, а также выражениями для мембранных функций, полученных для круглого волновода (см. § 3.3)

, , s = 0, 1, …,