Математические методы теории принятия решений: Курс лекций, страница 6

Разобьем ОДР по значению x₂: x₂ £ 3 и x₂ ³ 4. Тогда возникнут еще две задачи: №2 и №3 – с теми же выражениями целевой функции и ограничений. Но в задаче №2 указывается: x₁, x₂ ³ 0; в задаче №3 значения x₁³0; x₂ ³ 4.

Проведем горизонтальные прямые x₂ = 3 и x₂ = 4. Теперь видим, что для задачи №3 область допустимых решений – пустое множество, не ограниченное сверху. Для задачи №2 решение существует
x₁ = 2,86; x₂ = 3; Z= 8,86. Но целочисленность переменных не достигнута.

Поэтому задача №2 распадается на две: №4 с ОДР1, обозначенную буквами OADFK, №5 с ОДР2, обозначенную буквами MLC (треугольник).

Для ОДР1 в точке F находится целочисленное решение: x₁=2; x₂=3; значение Z = 8. В задаче же №5 значение Z=8,6; x₁=3; x₂=2,8. Это решение находится в угловой точке L(3; 2,8). Поэтому задача №5 распадается на две новые: №6 и №7.

Но в задаче №6 не существует ОДР. А в задаче №7 в точке
S(3; 2) существует целочисленное решение, для которого значение функции Z = 7. В точке S значение целевой функции меньше, чем в точке F. Поэтому результат оптимального решения задачи будет однозначным: Z = 8; x₁=2; x₂ = 3. Оптимальное значение целевой функции находится в угловой точке F(2; 3) области, обозначенной буквами OADFKO.

Булевы переменные используются, когда надо дать однозначный ответ: ДА (x₁ = 1), НЕТ (x₂ = 0). Это значит, что принимается первый вариант.

Пример 1. При рассмотрении двух вариантов развития экономики области было получено: x₁ = 1, x₂ = 0. Значит, развивать экономику надо не во втором регионе, а в первом.

Пример 2. В таблице 2 указаны 4 варианта использования ресурсов, величина удельной прибыли и располагаемые значения трудовых ресурсов.

Таблица 2

Требуется выбрать вариант с максимальным значением прибыли.

Целевая функция будет иметь вид:

Z = 70x₁ + 80x₂ + 90x₃ + 210x₄® max

Ограничение по труду: 10x₁+15x₂+22x₃+28x₄ £ 50   (1)

Ограничение по финансовым ресурсам будет в виде:

200x₁+180x₂+240x₃+250x₄ £ 650      (2)

Граничные условия: Все x_j должны быть целыми числами, заключенными в интервале 0 £ x_j £1.

Результат моделирования: x₃ = 1, x₄ = 1. Значит, следует выбрать третий и четвертый варианты, а первый и второй отклонить. При этом максимальная величина прибыли составит 370 единиц, а сэкономлено будет 160 финансовых единиц.

Дискретная оптимизация предполагает использование булевых переменных.

Пример 3. Требуется поместить жидкий материал в отдельном помещении, в контейнерах формы параллелепипеда, причем его длина «а» может быть только трех размеров: 4,25; 5,5; 6,75 метра. Два других размера: b – ширина, h – высота. Объем контейнера должен быть максимальным.

Целевая функция: V = a×b×h ® max. Используем булевы переменные для длины а = 4,25×x₁ + 5,5×x₂ + 6,75×x₃ . Тогда появятся два других ограничения:    а - 4,25×x₁ + 5,5×x₂ + 6,75×x₃ = 0   (1)

x₁ + x₂ + x₃ = 1                            (2)

Дополнительные условия: Все x_j должны быть целыми числами, заключенными в интервале 0 £ x_j £1.

Результат поиска: x₁ = 1; a = 4,25; b = 0,55; h = 0,55; V = 1,3 м³. Примечательно, что первоначальная стоимость контейнера уменьшилась с 100 денежных единиц до 60.

Контрольные вопросы по введению и теме №1

1. Разъясните определение: теория принятия решений.

2. Почему для теории принятия решений важны основные этапы информационной технологии моделирования процессов управления экономикой?

3. Почему для принятия наилучших решений в экономике важно понятие об области допустимых решений (ОДР)?

4. В чем состоит технология отыскания оптимальных решений?

5. Как рассчитываются координаты точек, соответствующие ограничениям ОДР?

6. Как рассчитываются координаты точек, соответствующие значению целевой функции?