Пусть в каждой j-й (потребляющей) отрасли необходимые трудозатраты будут обозначены L > 0. Тогда для модели Леонтьева «затраты – выпуск» в системе отраслей значение:
X = X(A,L) (9)
Вектор конечного спроса Y относится к непроизводственной сфере. Но его можно представить через коэффициент пропорциональности a в общем объеме выпуска всех отраслей. Обозначим общий объем необходимых трудовых ресурсов через Т. Если a - число комплектов конечной продукции, то ее весь объем будет a×Y. Теперь можно сформулировать оптимизационную задачу:
Z = a ® max
X – AX ³ a×Y (10)
L×X £ T
В системе (10) ищутся оптимальные значения X*, a*. Перепишем систему (10) в виде прямой и двойственной задач.
Прямая задача Двойственная задача
a ® max f = q×T® min (12)
a×Y – (E -A)×X £ 0 (11) P×Y ³ 1 (13)
L×X £ T q×L-P×(E -A) ³ 0 (14)
В двойственной задаче минимизируются объемы трудовых ресурсов (причем q*- цена трудовых ресурсов, а Р* – теневые цены товаров). Ясно, что отыскиваются только эти вещественные значения.
Из первой и второй теорем двойственности вытекают следующие соотношения:
· P*×Y* = 1 (15)– стоимость комплекта;
· q*×L = P*×(E – A) (16) – баланс стоимости трудовых ресурсов и выпускаемых товаров;
· a* = q*×T (17) – одинаковость значений целевых функций прямой и двойственной задач;
· L×X*=T (18) - баланс количества трудовых ресурсов, необходимых для валового выпуска продукции и имеющегося количество трудовых ресурсов.
Тогда из (16) получим:P* = q*×L×(E – A)-1 (19)
Подставив значение P* из выражения (19) в равенство (15), окончательно получим:
q* = 1 / [L×(E – A)-1×Y] (20)
Найдем значение Р* из (19) и (20):
P* = [L×(E – A)-1] / [L×(E – A)-1×Y] (21)
Так как цена одного комплекта равна единице, поэтому a* - цена a комплектов; q*×T – сумма зарплаты, выплаченная за Т единиц труда по цене q*.
В состоянии равновесия спрос равен предложению (в единицах стоимости). Это значит, что равенство a* = q*×T выражает равенство спроса и предложения в терминах стоимости: цена выпущенного объема конечной продукции (спроса Y) равна общей зарплате людей, участвовавших в процессе производства (при реализации предложения). Это соответствует теории трудовой стоимости Маркса: стоимость товара есть количество общественного труда, необходимого для производства товара.
Чтобы использовать lj единиц труда, надо сначала иметь aij единиц ресурсов каждой производящей (i–той) отрасли. Это значит, что вышеназванный вектор L×(E – A)-1 представляет вектор полных затрат труда при производстве единицы конечной продукции Y в каждой отрасли. Именно из выражения (21) следует, что цены пропорциональны полным трудовым затратам.
Величина вектора трудовых ресурсов может быть включена в формулу потребительского спроса [4]:
Bjc = А×[R×Kп + W×Lп]×1/Pj (22)
В этой формуле русские буквы (верхние индексы) означают: «п» – производство (предложение), «с» – потребление (спрос); нижние индексы: j – вид товара потребительского спроса; Pj – цены на товары, устанавливаемые производством. Значения R, Kп – соответственно нормативные значения цен услуг и размеров капитала; W, Lп – соответственно нормативные значения цены труда и требуемых размеров трудовых ресурсов на предприятии для выпуска продукции. Символ А = bj / S bj , где bj – используемые ресурсы.
1. Каков смысл привлечения математического аппарата Лагранжа для отыскания оптимальных решений в процессах производства?
2. Объясните сущность технологии поиска оптимальных решений в задаче о реконструкции трех заводов.
3. Объясните сущность технологии поиска оптимальных решений в задаче об энергоснабжении промышленного узла.
Уважаемый посетитель!
Чтобы распечатать файл, скачайте его (в формате Word).
Ссылка на скачивание - внизу страницы.