Вопросы методологии и новых технологий разработки месторождений природного газа. Часть III (Сборник научных трудов), страница 47

Для условий работы горизонтальных скважин система уравн ений (80-81) может быть еще более упрощена, поскольку скорость движения флюида в горизонтальном стволе во много раз меньше скорости звука. В этом случае режим движения можно счи­тать квазистацтонарным и, следовательно, в уравнениях (80-81) пренебречь производными по времени (11,17). Потери давления по стволу обычно невелики; в первом приближении можно принять плотность постоянной вдоль гидравлической оси. С учетом этих за­мечаний уравнения сохранения массы и количества движения принимают вид

^--««■ = 0.                                                                          (82)

*'-"  *"   V=O,                                                                         ,83)

где q = pv - массовая осевая скорость флюида в горизонтальном стволе; q_wc - p\v - массовая радиальная скорость притока флюида к стенке горизонтального ствола; Р = \^ррс1$ псевдодавление.

Во многих случаях можно пренебречь изменением кинетиче­ской энергии вдоль оси потока, т.е. исключить первый член в правой части уравнения (83), что позволит еще более упростить решение задачи. В этом случае уравнение сохранения количества движения принимает вид

₌₀.                .                    (84)

 4г_с

Система уравнений (82-84) справедлива для любого однофазного флюида как для жидкости, так и для газа, и впервые была получена в работе автора [3]. Одновременно (однако только для случая несжи110

маемой жидкости) аналогичные уравнения и их решения были полу­чены Диккеном [4]. В последнем случае возможность применения одномерной модели была основана еще раньше в работе [18].

Приведенные выше уравнения движения флюида основаны на уравнениях сохранения массы (82) и количества движения (83). Из­вестны попытки использовать в этих целях уравнения сохранения энергии, а не количества движения. В случае несжимаемой вязкой жидкости этим методом было получено уравнение движения сле­дующего вида [19,20]:

Р¹     Ъ-Е¹                                          V¹

_{+vv+     +} x _ ₌ о.                                                               (85)

р      2                           ° 4г

С

где штрих означает производную по "х": р - плотность флюида;

е - отношение осевой составляющей отделяющейся (присоеди­няющейся) массы к осевой скорости основного потока; w - радиаль­ная скорость на стенке канала; v -средняя осевая скорость основного потока; Xq - коэффициент трения при движении потока в канале с не­проницаемыми стенками.

С учетом радиального характера притока флюида (е - 0) и принятых обозначений уравнение (85) примет вид

dP   3dq²    I d   ,        if

Уравнение (S6) отличается от (83) наличием члена, учитываю­щего энергию присоединяющихся (или отсоединяющихся) масс.

Уравнение (86), однако, не может быть использовано для ги­дродинамических расчетов горизонтальной скважины, поскольку требует знания распределения функции Р ( или давления) или массо­вой скорости q_wc (или радиальной скорости притока флюида к ство­лу) но длине горизонтального ствола.

Уравнения механики тел переменной массы для движения однофазного флюида в горизонтальной скважине

Приведенные выше уравнения получены в рамках механики тел с постоянной массой и основаны на допущении осшюшности флюи­да, который в силу этого взаимодействует с окружающей средой только через граничные поверхности. Необходимо, однако, отметить, что поток в горизонтальном стволе с изменяющейся по пути движе­ния массой представляет собой множество взаимодействующих ме-

111

жду собой материальных частиц, а приток или отток флюида происходит во всем объеме потока.

В связи с этим большой интерес представляет применение ме­тодов механики тел перемененной массы для вывода уравнений дви­жения однофазного флюида в горизонтальной скважине.

Неоспоримый приоритет в создании механики тел переменной массы принадлежит отечественной науке в лице И.В.Мещерского, которому удалось еще в 1897 г. обосновать систему исходных поня­тий и допущений, а также вывести основные уравнения движения те­ла переменной массы.