Поскольку обычно f x очень мало, этому неравенству можно удовлетворить за счет выбора Pj.
В итоге получаем для определения 12 неизвестных аь Ьь я2, Ьг, gij, g2j, 0=1, ■--> 4) 12 уравнений (7), (8), (9) и 12 неравенств (3), (4).
|
Пусть |
, я>0, b>0, a+b>0,
26
Л > 0„ Тогда система (7), (8), (9) приводится к системе 8 уравнений относительно 8 неизвестных Д|, bi, a2, b2, gn, gi2, g23,
а\
(Y)
(10)
А 2 А 2
-ч
|
'24 |
А24 #23 " А23 Я
(Э)
(в)
r _
Здесь а, р, у, 5 обозначают отображения, заданные формулами, объединенными фигурной скобкой. Рассмотрим композицию отображений
(Ян, (\п) = (Города) (ян, q12) = F (q,,, q12).
Оказывается, неподвижные точки отображения F и только они порождают решение системы (10) в том смысле, что если .qu, q12, q23, Ч24, &\, Ьь a2, b2 -решение системы (10), то
(qibqi2) = F(q,bq12), (11)
если (qu, qn) - неподвижная точка отображения F, т.е. выполнено (11), то {аи bi) = a (q,,, q12), (a2, b2) = (Po5oaKqii, q12), так как решение обратной задачи сводится к нахождению неподвижных точек отображения F, т.е. к решению системы (11) двух уравнений с двумя неизвестными. При этом должны быть выполнены неравенства (3),
308
(4), формирующие область определения отображения F. Для краткоw • -\ А*у сти обозначим х = qn, атакже v = qn/x, AAJ*l) = —
(к =
1 2 1 < / < / < 4) % = ' ------ —,и
примем за основные
J 0{\-0)
переменные (х, g).
Тогда система (11) в новых переменных запишется в виде
x = f, (x,g); (12)
g = f2 (x, g), (x, g) e П = { 0 < x < Qb 0 < g <.Д,!}.
Оставляя в стороне важный и трудный вопрос существования неподвижных точек отображения (12), остановимся вкратце на алгоритме их численного нахождения. Заметим, что в переменных (х, g) ct\ = g/x, bj = (An- g)/x2, так что автоматически а\ > 0, bj > 0; a2 и b2 выражаются сложнее. Неравенства а2 > 0, b2 > с приводят к тому, что при фиксированном ge (0, Аи) должно быть X/(g) < х и х < xr (g), где функции X/ (g) и xr (g) определяются явно; xi (q) < xr (q), однако это неравенство не выполняется автоматически при каждом g и поэтому область определения отображения F является собственным подмножеством прямоугольника П. Обозначим (рп (g)= Ф (g, A| j- g, A13), Ф14 (g) = Ф (g, Ац-g, AI4), где ф (a, b, А) было определено выше. Оказывается, первое уравнение системы (12) можно представить в виде
3 2 D = 0, (13)
где коэффициенты А, В, С, D являются полиномами от переменных 4>i3(g), «PufeX ^-2 (j. 0 и Q,-, (1 < i <j < 4). В частности,
А = Х2 (3,1) (Я-2 (4,3) Ф213 (g) - Ф2н (g)) Ф13 (g) Фн (g) (Ф13 (g) Доказывается, что А = A (g) имеет на интервале (0, Дц) не более одного нуля. Алгоритм численного нахождения неподвижной точки состоит в следующем. На отрезке выбирается сетка узлов 0 < gi <..<...-gN < Аи. При фиксированном g = gk вычисляются упомянутые ранее функции X/ (gk), xr(gk). Если неравенства
0<x/(gk)<xr(gk)<Q, (14)
309
не выполняются, переходим к узлу gk+i- Если (14) выполняются, по методу Штурма вычисляется число К (gk) корней уравнения (13) на интервале (х; (gk), xr (gk)). Если К (gk) = 0, переходим к узлу gk+i . Если К (gk) = 1, по методу Ньютона вычисляем единственный корень х = х (gk) уравнения (13), и далее вычисляется
8K=gk-f2(x(gk),gk).
Уважаемый посетитель!
Чтобы распечатать файл, скачайте его (в формате Word).
Ссылка на скачивание - внизу страницы.