Вопросы методологии и новых технологий разработки месторождений природного газа. Часть III (Сборник научных трудов), страница 41

Д.Г--И) Ax f.

Ax

выполним предельные переходы в выражениях, стоящих в правой части уравнения (8).

Для первого выражения имеем

где F- вектор массовой силы, отнесенный к единице массы флюида; dF - элемент поверхности поперечного сечения горизонтального ство­ла.

При выполнении предельного перехода для второго члена уч­тем, что на поверхности F[ имеем п = i, а на поверхности F п = - /; 101 да

1 lm — Г pnds - lim —

&x->o Ax i              Лх-»п Ах

\\ndF- [pidF

lim

О \Х

J pwt/_tV = —J p/ £//• -+- j pndL

При вычислении предельного перехода для третьего члена бу­дем иметь в виду, что на поверхности F] т„ ~ T\_v'^a на поверхности F Т_п--т_х'- тогда

lim — f r^dS = lim

Ax

\r_xdF-[z_xdF

lim

С учетом полученных предельных переходов закон сохранения количества движения потока флюида в необсаженном горизон­тальном стволе скважины примет вид следующего интегродиффе-ренциального уравнения [11]:

<?

— j pvdF + — jpvv_xdF - \pvwdL - JpA/F---------------- / p/ dF -

г¹                                                Г                                  i,                               /'                                    ^я

+\z_ndL.

L

(17)

91

Уравнение (17) представляет собой векторную форму закона со­хранения количества движения и в гаком виде мало пригодно для практического применения. Более удобно записать его в проекциях на гидравлическую ось х, для чего необходимо вычислить проекции на ось ^нх" всех членов этого уравнения.

Для левой части уравнения (17) получаем

{a\^p~^vdF) ⁼

Apvv_xdF\  = — \pv_xdF +

f

pv_x

v ■ —   + v \ —

dF.

(последний  член  учитывает  влияние  возможной  кривизны  ги­дравлической оси).

В дальнейшем будем считать касательную составляющую век­тора скорости на стенке ствола равной нулю, т.е. v - v_n • п; учитывая также, что (п)_х = Cos(nJ) = Sin(J j), получим

! | р \hvdL    = j | pw v_nndL j = - J pw v_nSinu , i VlL.

Для правой части уравнения (17) находим UpFdF\  =\pF_xdF

V/гJ _{x     f}

(F_K - проекции вектора массовых сил на ось "х");

(

д

х№

F

pndL\ =-

F

"XX

.dx.,

^lrv

(at

dF.

Здесь было использовано разложение вектора г_г по ортам ',/Д, где ^ог- нормальное напряжение, действующее в плоскосги x=const в направлении оси "х";

92

т_ху  - касательное напряжение, действующее в плоскости x=const в направлении оси "у";

T_xz - касательное напряжение, действующее в плоскости x=const в направлении оси "z".

Разложим вектор напряжения х„ по ортам элемента боковой поверхности

(?п)_х = r_nnCo.s{nJ)+ T_ntCos{lj)+ T_nmCos{mJ\

Здесь Coslmj} = 0, т.к. орт т  лежит в плоскости, параллельной плоскости F, которая, в свою очередь, перпендикулярна орту i С учетом предыдущего, имеем

| Jz_ndL   = }[- T_nmSin(I, J)+ r_nl( :os(IJ)]dL.

Используя вышеприведенные соотношения, запишем уравнение сохранения количества движения в проекции на гидравлическую ось горизонтального ствола в следующем виде:

дх..

(18)

F

/■■

"X2 I

Перейдем к выводу уравнения сохранения энергии для потока флюида в горизонтальном стволе. Аналогично предыдущему, выпол­ним предельный переход при Дх->0 для левой и правой частей уравнения (10). Левая часть в силу граничных условий (12) при­водится к виду

д

д

\wdL

Предельные переходы для членов правой части уравнения (10)

выполняются аналогично предыдущему; в результате получим

93