Вопросы методологии и новых технологий разработки месторождений природного газа. Часть III (Сборник научных трудов), страница 43

Дифференциальные уравнения движения флюида

Дифференциальную форму закона сохранения массы можно по­лучить из интегральной (2), используя формулу Остроградского-Гаусса, согласно которой

J pv_nds = J di vpVdV.

s            i'

После подстановки этого равенства в уравнение (2) получаем инте­гральное уравнение

В силу производительности объема для выполнения равенства необходимо, чтобы

p    0.                                                                      (24)

Уравнение (24) представляет собой дифференциальную форму уравнения, выражающего закон сохранения массы.

Это же уравнение легко получить, приняв в (Г) M-pdV.

Уравнение (24) может быть записано в координатной форме, например:

• в системе криволинейных триортогональных координат аД г'(рис.2).

ск

где Н_а, Нр, Н_т - коэффициенты Ламе в выражениях для элементов длины координатных линий

dl_a-H_ada, dl^= H^dp, dl_y=H_ydr,                                                                   (26)

^v«, v/u Vy - проекции скорости флюида на касательные к координат­ным линиям; £,, г[, <; - единичные векторы вдоль касательных к коор­динатным линиям:

• в декартовой системе координат
(а =у, р - х, г = z) Н_а = Н^ = Н_у=1.
Следовательно,

ф _| <%pv_x) _i ^РУу)_|

d      ск         ду

• в цилиндрической системе координат (a=r, p=(p, y=z) H^=r,

97

1; отсюда

dt   cfr '         r           dcp          az

Перейдем к выводу дифференциального уравнения сохранения коли­чества движения. В соответствии с общей формулировкой закона со­хранения количества движения запишем уравнение (3) в виде

p^ или ЛК = (>аР+/>)Л*.                                                                   (29)

Dt

где  Р - поверхностная сила, отнесенная к единице объема.

В соответствии с определением субстанциальной производной приращение количества движения складывается из локальной со­ставляющей, учитывающей нестационарный характер течения, и конвективной составляющей, учитывающей перемещение частиц по­тока. Локальная составляющая изменения за промежуток времени количества движения массы, заключенной в криволинейном параллелепипеде (рис.3) равна

ДК = ^—t Н_а Н_рН₇ AaAflAyAi,                                                             (3 0)

Конвективная составляющая определяется как разность количества движения масс, входящих и покидающих криволинейный парал­лелепипед за промежуток времени At, в следующем виде:

ЛК = А_а[{ру_аМрН_г )Д//Д_Г]Д/ + А^(ру^Н_аН^АаАу]А( +

где А „, Ар, Ду разность значений выражения при a -0 и Да, р=0 и Ар, у = О И Лу.

Суммируя уравнения (30) и (31 ^получаем общее изменение ко личества движения массы за единицу времени:

да

(32)

AaAfiAy.

Уравнение (32) определяет члены, входящие в левую часть уравнения сохранения количества движения (29). Определим силы. входящие в правую часть этого уравнения. Значение объемной силы,

99