Вопросы методологии и новых технологий разработки месторождений природного газа. Часть III (Сборник научных трудов), страница 40

Рассмотренные ранее силы производят в единицу времени сле­дующую работу:

- f р(п- v)dS   - работа сил давления;

j (т_п v yiS    - раоота сил трения ЫF• v\dV - работа массовых сил.

V

Если обозначить через Q вектор потока тепла, проходящего через единицу поверхности внутрь объема V в единицу времени, а через 8 - количество тепла, выделяемого единицей массы флюида за единицу времени., то получим, что \Q,,dS + jpBdV и есть количество тепла, получаемого данной массой флюида в единицу времени, где О_п- проекция вектора О на внутреннюю нормаль п к элементу dS Согласно закону сохранения, с учетом формулы (8), имеем

_г 'Я  f     v* \\       . :     v² ■

\ —I d е + — I \dV + \ п\ е + — ■ 1///.S =

= -j р(Я ■ v^S' + I (г„ - v)dS -

/'                  .v                   !•-■■

Уравнение (10) представляет собой интегральггую форму закона сохранения полной энергии.

Интегрально-дифференциальные уравнения движения флюида в горизонтальной скважине

Приведенные выше интегральные уравнения сохранения массы, количества движения и энергии применим к движению потока флюида в горизонтальном стволе с открытой поверхностью филь­трации.

Рассмотрим для этого элементарный объем горизонтального ствола, ограниченный двумя близкими плоскими сечениями F и F| и боковой поверхностью S_6oK ствола между ними (рис.1).

В соответствии с общей формой уравнения сохранения массы (2) имеем

j             jv_adS = 0.              (11)

f           s_f,,,_k

Здесь на поверхности

89

Fi-v_n=+_Vx, на F-v_n=-v_x, на S,,_c-v_n=-w,                                                                      (12)

где х - ось горизонтального ствола; w - скорость притока флюида из пласта к стенке ствола; знак минус указывает на то, что положитель­ное направление скорости w совпадает с внутренней нормалью к по­верхности.

Уравнение (11), с учетом граничных условий (12), может быть записано в следующем виде:

dV + Jpv_xdF-\pvJF- jpwdS = 0.                                                           (13)

Для рассматриваемого элементарного объема справедливы приближенные равенства AV = AF • Дх и AS_fWK « Ax AL, где AL - элемент периметра

}_}Cos{t,i

В случае канала цилиндрической формы и постоянного сечения имеем Ах = Л/; Cos(Ij) = I, L=L'.

Уравнение (13) с учетом этих соотношений можно записать в виде

 |   |

\

I'         j    L

откуда при Дх-»0 получаем ингегрально-дифференциальное уравнение сохранения массы для потока флюида в горизонтальном стволе скважины

\p      ^\p_x\p                                                    (15)

a _F        (ж _{F                          ;}

Для получения уравнения сохранения количества движения по­тока флюида в горизонтальной скважине разделим правую и левую части уравнения (8) на Ах.