Вопросы методологии и новых технологий разработки месторождений природного газа. Часть III (Сборник научных трудов), страница 45

(54)

^у(/,у = а,Д/) - компоненты скорости дефомации, определяемые формулами

1
да    Н_аН_д г^   "   Н_аН_у ^>   '                                                           (55)

1

1    Ж_v

V

^{ap                                                a    a}

jj^j-^/Hy),                                                    (56)

н

где v_a,v_fi,v_Y - компоненты вектора скорости перемещения вдоль осей

a fry.

В прямоугольной системе координат эти уравнения имеют вид

т_и +р= Л>е + 2р,е_иХ* = х_чу_г=).                                                                          (57)

 (58)

е_п

 (У V

Oj        (71

Л\/       C/..V., 0 -  . ^ ₊   ^У      +

^         ^'         <^

В цилиндрической системе координат ( г,<р ,х ) соответственно имеем

 +2/4е,₇,(/ = л^,д).                                                                   (60)

 ", i = /\ ^,х; /V /).                                                                    (61)

dv_r         I t?v_r   dv_a

rir                                                             (⁶²)

105

\_d_

r dr

-t-

dx

Сложив уравнения (60), найдем, что г = где г = (гн ⁺ Где ⁺ Г^)^>7 3 - среднее нормальное напряжение;

(63)

fj, = Я + (2 / 3)// - коэффициент объемной вязкости.

Согласно гипотезе Стокса, ц¹ = 0, т.е. X* — - (2/3) ц*. Это очевид­но для покоящегося флюида, поскольку в этом случае г--р,ив первом приближении может быть принято для флюида, двигающего­ся со скоростью не менее чем на порядок меньше скорости звука [6].

В последнее время появились экспериментальные данные, ука­зывающие на то, что объемная вязкость может на несколько порядков превосходить сдвиговую /14/. Однако нетрудно показать, используя критерий учета объемной вязкости [15], что для условий работы горизонтальной скважины гипотеза Стокса выполняется с очень высокой точностью.

После подстановки этих соотношений в уравнение (39) получим уравнения сохранения количества движения, выраженные через ком­поненты вектора скорости перемещения. Они называются уравнениями Навье-Стокса и составляют основу всей механики жид­кости и газа.

В прямоугольной системе координат эти уравнения в проекциях на оси х, у, z имеют вид [6]

д

Dt

ду     Зс

д_

dz

■+■

dv \

Dt

d_

dz

Dv₂ Dt

4 dz ⁺ dy ■ = p^f_z - ^c~z + i:

d_

-UtiVv

dy     dk )

dv_:2 ~dz~~3

fox

dz

d

dz

v)

i

v J

(64)

106