Впервые попытка учесть влияние изменения расхода флюида по пути его движения на гидродинамические параметры потока была предпринята Л.С. Лейбензоном для случая движения нефти или газа в трубе с пористыми стенками [1,2]. Предложенный им метод расчета был основан на совместном решении одномерных стационарных уравнений сохранения массы и количества движения флюида в трубе. В дальнейшем эта идея была развита и применена для расчета параметров потока флюида в горизонтальной скважине [3,4].
Чрезвычайно бурное развитие методов расчета гидродинамических параметров нестационарных потоков с изменяющимся по оси расходом началось в 60-е годы и было связано с развитием теории ракетных двигателей на твердом топливе. Как правило, эти методы основаны на совместном решении фундаментальных уравнений гидрогазодинамики (сохранения массы, количества движения и полной энергии потока).
Однако, несмотря на некоторую аналогию явлений, полученные ранее результаты не отражают в полной мере специфики работы горизонтальной скважины и поэтому ниже в рамках механики сплошных сред приводится систематический вывод уравнений сохранения массы, количества движения и полной энергии однофазного флюида при движении его в необсаженном горизонтальном стволе скважины.
Предварительно введем некоторые основные понятия:
М = \pdV - масса флюида в объеме V;
V
к = \pvdV - количество движения массы М;
V
г (v2 \
Е = J р\ — + е \dV - полная энергия массы М;
v2/2 - кинетическая энергия единицы массы;
е = ет + £<?,- - внутренняя энергия единицы массы, где р -плотность флюида; v- вектор скорости флюида; V - объем; v - модуль скорости; ет - тепловая энергия, т.е. суммарная кинетическая энергия хаотического движения молекул флюида; е,-- составляю-84
щие внутренней энергии, связанной с движением составляющих молекулу частиц - атомов окружающих их электронов, а также энергия химической связи в молекуле и т.д.
Л Интегральная форма уравнений движения флюида
Основными фундаментальными уравнениями движения флюида являются уравнения сохранения массы, количества движения, момента количества движения и полной энергии.
Рассмотрим уравнение неразрывности, выражающее в математической форме закон сохранения массы. В рамках механики сплошных сред, т.е. для процессов, не сопровождающихся возникновением или исчезновением массы, или^что то же для тел постоянной массы, этот закон формулируется следующим образом: масса флюида, которая находилась в некоторый момент в рассматриваемом объеме, будет оставаться неизменной при ее движении, т.е. субстанциальная производная массы по времени равна нулю.
DM
= 0. (1)
где — = --■ - ' ч
ik - единичный вектор, V - оператор набла , точка означает скалярное произведение.
Субстанциальная производная DM/Dt складывается из локальной производной дЫ/dt, учитывающей нестационарность перемещения частицы, и конвективной производной.
С другой стороны, изменение массы при движении флюида может происходить как за счет изменения плотности, так и за счет изменения объема, который может занимать масса в последующие моменты. В соответствии с этим закон сохранения массы можно записать в виде [5]
^ = j|^ + Jw,, = O, (2)
V а л
где первый член представляет собой изменение массы флюида в единицу времени за счет изменения плотности, второй - за счет изменения объема; s - поверхность, ограничивающая объем; ■уп- нормальная составляющая скорости в данной точке поверхности. Уравнение (2) можно также получить, используя альтернативную формулировку закона сохранения: сумма массы, втекающей в
85
единицу объема в единицу времени, и массы, вытекающей из того же объема за тот же промежуток времени, равна изменению массы, происходящему в единицу времени вследствие изменения плотности
Уравнение (2) выражает закон сохранения массы в интегральной форме.
Уважаемый посетитель!
Чтобы распечатать файл, скачайте его (в формате Word).
Ссылка на скачивание - внизу страницы.