Кривые второго порядка (квадрики). Эллипс и его простейшие свойства. Каноническое уравнение эллипса

ОГЛАВЛЕНИЕ

Глава 4. КРИВЫЕ ВТОРОГО ПОРЯДКА (КВАДРИКИ)……………………          64

§ 4.1. Эллипс и его простейшие свойства ………………………………..……          64

§ 4.2. Каноническое уравнение эллипса ………………………………………          68

§ 4.3. Гипербола. Ее простейшие свойства и каноническое уравнение…….          70

§ 4.4. Изучение гиперболы по ее каноническому уравнению. Асимптоты….          73

§ 4.5. Парабола. Ее свойства и каноническое уравнение ………….…………          77

§ 4.6. Директрисы. Фокальное свойство эллипса и гиперболы ………..……          80

§ 4.7. Полярное уравнение невырожденной квадрики…………………………20

§ 4.8. Преобразование координат………………………………………………. 22

§ 4.9. Общее уравнение кривой второго порядка и его упрощение путем поворота координатных осей ………………………………….……..…          15

§ 4.10. Центральные квадрики и их классификация……………..……………          17

§ 4.11. Параболические квадрики и их классификация………………………          20

§ 4.12. Классификация квадрик (сводка результатов). Примеры………….….22

Часть II. АНАЛИТИЧЕСКАЯ ГЕОМЕТРИЯ В ПРОСТРАНСТВЕ………….          101

Глава 5. ВЕКТОРЫ И КООРДИНАТЫ В ПРОСТРАНСТВЕ ………………          24

§ 5.1. Компланарные векторы. Разложение вектора на составляющие……..          24

§ 5.2. Координаты вектора……………..………………………………………..          27

§ 5.3. Координаты точки. Геометрический смысл уравнений между координатами……………………………………………………………...30

§ 5.4. Ориентация некомпланарной тройки векторов………………………….34

§ 5.5. Векторное произведение и его простейшие свойства…………………..          37

§ 5.6. Смешанное произведение трех векторов……………………………….          40

§ 5.7. Дистрибутивность векторного произведения. Векторное и смешанное произведения в координатах ……………………………….43

Глава 6. ПЛОСКОСТЬ И ПРЯМАЯ В ПРОСТРАНСТВЕ……………...........          47

§ 6.1. Уравнения плоскости по точке и нормальному вектору, по точке и двум направляющим векторам …………………………………………………47

§ 6.2. Общее уравнение плоскости и его частные случаи……………………..49

§ 6.3. Углы между плоскостями, параллельность и перпендикулярность.

Взаимное расположение двух плоскостей ……………………………...52

§ 6.4. Расстояние от точки до плоскости……………..………………………..          54

§ 6.5. Пучок и связка плоскостей………………………………………………          56

§ 6.6. основные виды уравнений прямой..…………………………………….          61

§ 6.7. Угол между прямой и плоскостью, параллельность и перпендикулярность. Взаимное расположение прямой и плоскости ……….          56

§ 6.8. Угол между прямыми. Взаимное расположение двух прямых……….          61

Глава 7. ПОВЕРХНОСТЬ ВТОРОГО ПОРЯДКА……….……………...........          47

§ 7.1. Вспомогательные вопросы……………………………………………….          47

§ 7.2. Эллипсоид и гиперболоиды………………………..……………………..      49

§ 7.3. Параболы…………………………………………………………………...52

§ 7.4. Цилиндры и конус……………………..………..………………………..          54

§ 7.5. Прямолинейные образующие поверхности второго порядка…………          56

§ 7.6. Плоские сечения пространственных квадрик. Плоские квадрики как канонические сечения…………………………….……………………….61

ГЛАВА 4. КРИВЫЕ ВТОРОГО ПОРЯДКА (КВАДРИКИ)

Уравнение всякой прямой – первой степени. Поэтому с точки зрения аналитической геометрии прямая – это кривая первого порядка.

Кривой второго порядка или плоской квадрикой называется кривая, уравнение которой в прямоугольных декартовых координатах второй степени. Например, квадриками являются окружность  и парабола . В школьном курсе рассматривается гипербола ; это уравнение второй степени, поэтому гипербола тоже является квадрикой.

Корректно ли такое определение? Не может ли случиться, что уравнение кривой в одной системе прямоугольных декартовых координатах будет второй степени, а в другой – какой-либо иной степени? В § 4.9. мы увидим, что при изменении системы координат уравнение второй степени останется уравнением той же степени. Это значит, что наше определение корректно.

В настоящей главе мы подвергнем кривые второго порядка систематическому изучению. Для этого мы найдем уравнения важнейших квадрик в специально подобранных системах координат. Выбирать системы координат будем с таким расчетом, чтобы уравнения квадрик получились по возможности простейшими. Такие уравнения называются каноническим, что значит - важнейшими, основными, простейшими. Канонические уравнения позволят установить ряд свойств квадрик. Затем будет рассмотрено общее уравнение кривых второго порядка и будет дана классификация этих кривых.

§ 4.1. Эллипс и его простейшие свойства

Определение. Эллипсом называется множество точек, сумма расстояний от которых до двух фиксированных точек, называемых фокусами, есть величина постоянная.

Исходя из этого определения, эллипс можно нарисовать так. Вобьем в точках F₁ и F₂ два гвоздя и привяжем к ним веревку. Натянем веревку так, чтобы она стала ломаной F₁MF₂ (рис. 4.1). При этом точка М может перемещаться. Если в точку М поместить острие карандаша и перемещать его так, чтобы веревка оставалась натянутой, то будет нарисован эллипс с фокусами F₁ и F₂.