Кривые второго порядка (квадрики). Эллипс и его простейшие свойства. Каноническое уравнение эллипса, страница 15

Теорема 1. (Бескоординатный признак компланарности трех векторов). Для того, чтобы три вектора были компаланарны, необходимо и достаточно, чтобы существовала нулевая линейная комбинация этих векторов, не все коэффициенты которой равны нулю.

Иначе: чтобы векторы  были компланарны, необходимо и достаточно, чтобы существовали числа α, β, γ, среди которых есть не равные нулю, чтобы выполнялось равенство

                                                       (5.1.2)

Доказательство. Необходимость. Пусть векторы  компланарны.

Если один из них нулевой, например, , то равенство (5.1.2) выполняется при коэффициентах 0, 0, 1: .

Если среди данных векторов нет нулевых, но есть коллинеарная пара, например, , то по бескоординатному признаку коллинеарности (§ 2.3) существует такое число λ, что . В этом случае равенство (5.1.2) выполняется при коэффициентах 0, -1, λ: .

Если среди данных векторов нет коллинеарных, то любой из них по теореме § 2.4 о разложении вектора на плоскости по двум неколлинеарным векторам можно представить в виде линейной комбинации двух других, например, . В этом случае равенство (5.1.2) выполняется при коэффициентах α, β, -1: .

Достаточность. Пусть теперь выполняется равенство (5.1.2), причем среди коэффициентов есть отличные от нуля, например, . Надо доказать, что векторы компланарны.

Из данного равенства имеем: . На рис. 5.3 ,  и . Из построения ясно. Что вектор  в плоскости (ОАВ), а это значит, что три вектора -  - лежат в одной плоскости. Теорема доказана.

М₈                        

                         М

                      С                                                                                       В

                                                                                  А                 

                                                                                                                    С

                                                                                                   φ

                                О           В        М₂                  А₁                          В₁         

          М₁        

А                                          

Рис. 5.4                                                        Рис. 5.5

Теорема 2. (о разложении вектора на составляющие). Всякий вектор трехмерного пространства может быть единственным образом разложен по трем некомпланарным векторам.

Иначе: надо доказать, что произвольный вектор  можно единственным способом представить в виде линейной комбинации трех данных некомпланарных векторов :

                                             (5.1.3)

Доказательство. Существование. Из произвольной точки О построим векторы: ,  (рис. 5.4). Через точку М проводим прямую параллельно ОА и точку пересечения этой прямой с плоскостью (ОВС) обозначаем ; аналогично строим точки  и .

Далее. Точку пересечения плоскости () (эта плоскость параллельна плоскости (ОВС)) с прямой ОА обозначаем М₁; аналогично строим точки М₂ и М₃. Получился параллелепипед .

Так как  и  то .

В силу бескоординатного признака коллинеарности векторов (§ 2.3) существуют действительные числа х, у, z такие,  что , и мы приходим к разложению (5.1.3).

Единственность. Сделаем предположение от противного, а именно, положим, что наряду с (5.1.3) имеется разложение  с другими коэффициентами (точнее: хотя бы один коэффициент второго разложения отличен от соответствующего коэффициента первого, например, ). Тогда  или  .

Мы получили равную  линейную комбинацию векторов  с ненулевым коэффициентом z - z₁. По теореме 1 это значит , что векторы  компланарны, а это противоречит условию.

Полученное противоречие доказывает теорему.

Рассмотрим в трехмерном пространстве проекцию вектора на ось. Как и в плоском случае (2.6), мы ограничимся ортогональным проектированием.