Кривые второго порядка (квадрики). Эллипс и его простейшие свойства. Каноническое уравнение эллипса, страница 11

§ 4.10. Центральные квадрики и их классификация

Как показано в предыдущем параграфе, в уравнении кривой второго порядка можно поворотом координатных осей уничтожить член с произведением координат. При этом уравнение квадрики будет приведено к более простому, чем (4.9.1), виду

                   (4.10.1)

(легко видеть, что , но это не существенно).

Коэффициенты  и  одновременно равняться нулю не могут, так как при  уравнение (4.10.1) было бы первой степени. Следовательно, возможны два случая: либо оба эти коэффициента отличны от нуля. Либо один из них равен нулю.

Определение. Если в уравнении квадрики, в котором нет члена с произведением координат, коэффициенты при квадратах обеих переменных отличны от нуля, то квадрика называется центральной.

Название объясняется тем, что квадрика в этом случае центрально-симметрична, причем имеет только один центр симметрии; это будет установлено при помощи следующей теоремы.

Теорема. В уравнении центральной квадрики (4.10.1) переносом начала можно уничтожить члены первой степени.

Доказательство. Перейдем от системы координат  к системе  по формулам (4.8.1): , то есть перенесем начало координат в точку . Уравнение квадрики в новых координатах таково: . После раскрытия скобок и приведения подобных членов получаем:

, где буквой с обозначена сумма свободных членов. Полагая  и , получим уравнение квадрики без членов первой степени:

                                      (4.10.2)

Теорема доказана.

Кривая второго порядка тогда и только тогда симметрична относительно начала координат, когда в ее уравнении отсутствуют члены первой степени, потому что только в этом случае ее уравнение не меняется при замене х и у на –х и –у. Начало координат поэтому есть центр симметрии кривой (4.10.2). Других центров симметрии она не имеет, так как уничтожить члены первой степени в  уравнении (4.10.2) можно, как мы видели при доказательстве теоремы, единственным образом – переносом начала координат в точку . Таким образом, всякая центральная квадрика имеет единственный центр симметрии.

Примечание. Приведение уравнения (4.10.1) к виду (4.10.2) можно выполнить не только тем способом, который применен при доказательстве теоремы, но и выделением полных квадратов, как это мы делали в случае окружности в § 1.4.

Мы использовали все возможности упрощения уравнения центральных квадрики. Теперь можно дать их полную классификацию.

При  центральная квадрика (4.10.2) называется невырожденной, а при с = 0 – вырожденной.

Уравнение центральной невырожденной квадрики (ЦН) легко преобразуется к каноническому виду. Для этого достаточно в уравнении (4.10.2) перенести с вправо и разделить уравнение на –с: . При обозначениях  последнее уравнение принимает вид

                                                           (4.10.3)

Здесь возможны три случая.

ЦН-1. А > 0, В > 0 – эллипс с полуосями  (по оси О»х») и  (по оси О»у»).

ЦН-2. А > 0, В < 0 или А < 0, В > 0 – гипербола, действительная ось которой соответствует положительному знаменателю. А мнимая – отрицательному.

ЦН-3. А < 0, В < 0. В этом случае уравнение (4.10.3) не удовлетворяется никакими действительными значениями . Кривая не имеет ни одной действительно точки. По аналогии с ЦН-1 ее называют мнимым эллипсом.

Уравнение центральной вырожденной квадрики (ЦН) получается из (4.10.2) при с = 0:

                                           (4.10.4)

Можно считать , в противном случае уравнение умножим на -1. Теперь могут быть две возможности.

ЦВ-1. Если  разных знаков, то есть  и , то уравнение (4.10.4) можно записать так:  или . Таким образом. Квадрика распадается (вырождается) в пару пересекающихся прямых  и . Точка пересечения этих прямых – новое начало координат .

ЦВ- 2. Если  одного знака, то есть  и , то уравнение (4.10.4) удовлетворяется только одной парой действительных чисел (0, 0). Левую часть уравнения в этом случае тоже можно разложить на множители, но мнимые. Поэтому квадрику называют парой мнимых прямых, пересекающихся в действительной точке.