Кривые второго порядка (квадрики). Эллипс и его простейшие свойства. Каноническое уравнение эллипса, страница 34

Второе уравнение не содержит . Поэтому оно представляет собой уравнение сечения в координатной плоскости ХОУ. Рассмотрим различные случаи.

а)  В этом случае второе уравнение системы – второй степени, поэтому в сечении получается плоская квадрика.

б)  но  Второе уравнение системы – первой степени, поэтому в сечении получается прямая.

в)  но  Второе уравнение системы не имеет решений, поэтому в сечении – пустое множество.

г)  В этом случае второе уравнение удовлетворяется при любых x и y, поэтому плоскость ХОУ представляет собой часть данной поверхности второго порядка. Данная поверхность второго порядка имеет уравнение δ:  и, следовательно, распадается на две плоскости -  и

Теорема доказана. Основной случай пересечения поверхности второго порядка с плоскостью – это случай а), когда в сечении может получится любая из 9 видов квадрик, перечисленных в § 4.12, - как действительная, так и мнимая, как невырожденная, так и вырожденная.

В качестве применения этой теоремы рассмотрим плоские сечения кругового конуса (7.4.6), не занимаясь тривиальным случаем, когда секущая плоскость проходит через вершину и в сечении получается пара прямых.

Если плоскость пересекает все образующие конуса, то сечение  располагается с одной стороны от вершины. Оно не распадается в прямые и поэтому является невырожденной квадрикой. Кроме того, ясно, что оно не имеет бесконечных ветвей. Из всех 9 видов плоских квадрик такими свойствами обладает лишь эллипс (рис.7.20).

Если секущая плоскость параллельна одной из образующих конуса, то сечение  имеет бесконечные ветви. Оно не распадается в прямые и состоит из одного куска. Это - парабола.

Если секущая плоскость параллельна двум образующим конуса, то она пересекает обе части конуса и сечение , следовательно, состоит из двух кусков. Это – гипербола.

Таким образом, эллипс, парабола и гипербола суть конические сечения.

Теорема 2. Если плоскость  пересекает пространственную квадрику по окружности, то сечение этой квадрики плоскостью, параллельной , есть также окружность (когда это сечение действительно).

Доказательство. Как и при доказательстве предыдущей теоремы, полагаем Так как в сечении квадрики плоскостью  получается окружность, то  и (см. § 1.4).

Рассмотрим сечение той же квадрики плоскостью , параллельной плоскости . Уравнение сечения в плоскости  имеет вид  

или с учётом найденных соотношений между коэффициентами .

Если это уравнение определяет действительную квадрику, то в силу того же § 1.4 оно представляет собой уравнение окружности.

Теорема доказана.

Она не решает вопроса о существовании круговых сечений, но утверждает, что если одно круговое сечение имеется, то их будет бесконечно много.

Ясно, что поверхности вращения круговые сечения имеют – это параллели. А другие квадрики ?

Теорема 3. Трёхосный эллипсоид имеет два семейства круговых сечений.

Доказательство. Будем рассматривать эллипсоид (7.2.1а) и для определенности положим  Через среднюю по величине ось проведём плоскость (рис. 7.21). В силу теоремы 1 она пересекает эллипсоид по эллипсу. Одной из полуосей этого эллипса будет , другую обозначим через . Ясно, что  Если поворачивать секущую плоскость около оси ОУ, то у эллипса, который получился в сечении, полуось  будет меняться между   и , а полуось  будет неизменна. При некотором положении секущей плоскости получится  и эллипс превратится в окружность.

Итак, мы получили круговое сечение трёхосного эллипсоида. Отсюда по теореме 2 заключаем, что он имеет семейство параллельных круговых сечений.

Второе семейство симметрично первому относительно плоскости ZОУ.

Теорема доказана. Аналогично можно было бы показать, что двумя семействами круговых сечений обладают также одно – и двуполостный гиперболоиды, эллиптический параболоид, эллиптический цилиндр, конус второго порядка. Эти два семейства сливаются в одно у поверхностей вращения. На существовании двух семейств круговых сечений основано устройство любопытных картонных моделей перечисленных поверхностей.