тройка
векторов - правая. При другом порядке векторов
можно получить левую тройку, например,
.
Для
определения ориентации тройки векторов существуют и другие равносильные правила.
Например, правило правой руки, а также способ, основанный на «наблюдении»
векторов
и
из
конца вектора
. Ни один из таких способов не
имеет никаких преимуществ перед другими. Студенту следует разобраться в
каком-либо одном и научиться пользоваться им безошибочно.
Условимся
тройку базисных векторов прямоугольной системы
координат брать всегда правой; в тех случаях, когда нам понадобиться левая
базисная тройка, будем делать специальную оговорку.
Из трех векторов можно составить 6 упорядоченных
троек: ,
Применяя
ко всем шести правило бураРис. 5.12
чика, убеждаемся, что первые три имеют одну ориентацию, а последние три – другую. На этом основании мы можем
сформулировать два свойства.
Свойство 1. При
перестановке двухвекторов в упорядоченной тройке ориентациятройкименяется. На самом деле, при любой перестановке двух векторов
в каждой из первых трех троек получится какая-либо из тех последних.Если первый
вектор упорядоченной тройки φпереставить на последнее место (в этом случае
из получится
) или
последний на первое (в этом случае из
получится
), то такая перестановка называется циклической.
Непосредственно убеждаемся в справедливости следующего свойства.
Свойство 2. При циклической перестановке ориентация тройки векторов не меняется.
§ 5.5. Векторное произведение и его простейшие свойства.
Определение. Векторным произведением вектора
на вектор
(обозначения:
или
)
называется такой вектор, который определяется следующими условиями:
1. Длина векторного произведения равна произведению длин перемножаемых векторов на синус угла между ними:
(5.5.1)
2.
Векторное произведение
перпендикулярно каждому из сомножителей: .
3. Упорядоченная тройка векторов (I сомножитель, II сомножитель, векторное произведение) – правая (рис. 5.13)
Из определения вытекают простейшие свойства.
Свойство 1. Длина векторного произведения равна площади параллелограмма, построенного на перемножаемых векторах. Верно в силу формулы площади параллелограмма.
Свойство 2. (признак
коллинеарности векторов). Для коллинеарности двух векторов необходимо и
достаточно, чтобы их векторное произведение равнялось 0: . Мы воспользовались формулой (5.5.1) и
определением коллинеарности векторов (§ 2.1).
Свойство 3. (антикоммутативность).
При перемене мест сомножителей векторное произведение меняет знак: . В соответствии с требованием 1)
определения при перемене мест сомножителей длина векторного произведения не
меняется, а в силу требований 2) и 3) направление меняется на противоположное.
Свойство 4. Произведения базисных векторов таковы:
(5.5.2)
Справедливость этих формул видна непосредственно из определения. Для запоминания формул второй и третьей строк рекомендуется схема на рис. 5.14.
Свойство 5. Числовой множитель можно выносить за знак векторного произведения:
и
(5.5.3)
Достаточно
доказать лишь одну из этих формул, например, первую. Тогда другую можно вывести
из первой на основании антикоммукативности векторного произведения. В самом
деле, .
Докажем первую из формул (5.5.3).
При λ = 0 она выполняется тривиально: обе части доказываемого равенства равны.
В
случае надо доказать равенство векторов
и
.
Рассмотрим два случая.
а)
λ > 0 (рис. 5.15). Сначала докажем равенство длин векторов и
. Имеем
по формуле (5.5.1):
,
. Получилось
.
Теперь
докажем совпадение направлений. Векторы и
направлены по прямой, перпендикулярной
плоскости векторов
и
. Более
того, они направлены в одну сторону, в ту, в которую направлен вектор
. Действительно,
и
потому тройки
и
имеют
одну (правую) ориентацию, откуда следует
. Но и
. Поэтому
. Из U = V и
вытекает
, что и
требовалось доказать.
Уважаемый посетитель!
Чтобы распечатать файл, скачайте его (в формате Word).
Ссылка на скачивание - внизу страницы.