Кривые второго порядка (квадрики). Эллипс и его простейшие свойства. Каноническое уравнение эллипса, страница 20

                                                                    

 

            

                                                                                            

                                                  

                                                           Рис. 5.14

                                                                                  

                                                                                                      

                    φ                                                                                      φ       

                                

Рис. 5.15                                                      Рис. 5.16    

б) λ < 0. Этот случай читателю предлагается разобрать самостоятельно при помощи рис. 5.16.

Далее следовало бы доказать дистрибутивность векторного произвдения и, опираясь на нее и свойства 4 и 5, найти выражение векторного произведения через координаты перемножаемых векторов. Однако непосредственное доказательство дистрибутивности сложно. Ее удобнее доказать позднее, см. § 5.7.

§ 5.6. Смешанное произведение трех векторов.

Определение. Смешанным произведением трех векторов называется скалярное произведение первого на векторное произведение второго и третьего:

                                                 (5.6.1)

Иногда смешанное произведение определяют как скалярное произведение векторного произведения первых двух на третий: .

Равносильность двух таких определений вытекает из примера, который будет рассмотрен в конце параграфа.

Теорема (геометрический смысл смешанного произведения). Смешанное произведение правой тройки векторов равно объему параллелепипеда, построенного на этих векторах; произведение левой тройки – объему параллелепипеда со знаком минус.

Доказательство. Пусть сначала  - правая тройка векторов, ОК – высота параллелепипеда, построенного на этих векторах (рис. 5.17), V – его объем. Подсчитываем смешанное произведение . Обозначая  и принимая во внимание выражение скалярного произведения через проекции по формуле (2.7.6), получаем: .

                                                        Но по свойству 1 векторного произведения

                                                           (§ 5.5)  - это площадь основания

     А      К                                           параллелепипеда. Кроме того,  -                                                                                  - высота параллелепипеда. Поэтому .

                    С                                     Если тройка левая, то векторы  и  

                                  направлены в разные полупространства

                                                           относительно плоскости основания

О                        В                 параллелепипеда и при аналогичных

Рис. 5.17                         рассуждениях получим . В этом случае будет . Теорема доказана. Отметим вытекающие из нее совершенно очевидные следствия.

Следствие 1. Абсолютная величина смешанного произведения трех векторов равна объему параллелепипеда, построенного на этих векторах:

                                              (5.6.2)

Следствие 2. Знак смешанного произведения тройки  векторов соответствует ее ориентации.

Следствие 3. Три вектора компланарны тогда и только тогда, когда их смешанное произведение равно нулю. В частности, смешанное произведение равно нулю, если в тройке есть равные (или хотя бы коллинеарные) векторы.

Действительно, если тройка компланарная, то объем параллелепипеда, построенного на векторах этой тройки, равен нулю.

Из теоремы следует, что при перестановке векторов в упорядоченной тройке абсолютная величина смешанного произведения не меняется, так как во всех случаях она равна объему одного и того же параллелепипеда. Знак смешанного произведения зависит от ориентации, которая при циклических перестановках не меняется. А при перестановке только двух векторов – меняется. Получаем следующее важное свойство.