Определение. Ненулевой вектор называется направляющим вектором плоскости, если он ей параллелен или лежит в ней.
Пусть
неколлинеарные векторы и
-
направляюще векторы плоскости α (рис. 6.2). Тогда любой вектор, компланарный с
ними, тоже является направляющим для этой плоскости, так как все три вектора,
если их построить из одной точки, располагаются в плоскости, параллельной α. Но
любой вектор, компланарный векторам
и
, может быть разложен на составляющие по
этим векторам (см. § 2.4, а также § 5.1). Поэтому все направляющие векторы
плоскости α можно представить в виде
, где
.
Точка плоскости и два ее направляющих вектора определяют плоскость. Поэтому следующая задача имеет единственное решение.
Задача
2. Найти уравнение плоскости α по точке и
неколлинеарным направляющим векторам
и
.
Решение.
Для наглядности векторы и
построим из одной точки А, тогда они
расположатся в плоскости α (рис. 6.3). Пусть М(х, у, z) – какая-либо
точка. Она принадлежит плоскости α тогда и только тогда, когда векторы
,
,
компланарны. Согласно теореме § 5.2
условие компланарности этих векторов имеет вид
(6.1.2)
Это
и есть искомое уравнение плоскости по точке и двум направляющим векторам.
Читателю необходимо продумать, какое значение имеет неколлинеарность
направляющих векторов и
.
При
тех же данных можно получить уравнение плоскости в другом виде, если воспользоваться
разложением вектора по векторам
и
. Имеем:
.
Отсюда:
(6.1.3)
Это – параметрические уравнения плоскости. λ и μ – переменные параметры.
Из
уравнения (6.1.2) легко получается уравнение плоскости по трем точкам не лежащим на одной прямой. Для этого
достаточно записать ее уравнение по точке, например, А и двум неколлинеарным
направляющим векторам, например,
и
(6.1.4)
Это уравнение равносильно такому:
(6.1.5)
что можно проверить непосредственным подсчетом определителей или сведением одного к другому путем элементарных преобразований; второй путь приводит к цели быстрее.
Пример 1. Найдите уравнение плоскости, проходящей через ось ординат и точку А(1, 2, 2).
Решение.
Уравнение искомой плоскости находится по точке О(0, 0, 0) и направляющим
векторам и
(рис.
6.4):
или, после вычислений,
.
Пример
2. Найдите уравнение плоскости, которая касается сферы в точке А(3, -3, 2).
Решение. Непосредственной подстановкой убеждаемся, что данная точка действительно лежит на сфере.
Из
уравнения сферы находим ее центр С(1, -2, 4). Вектор -
нормальный вектор искомой плоскости (рис. 6.5). Поэтому ее уравнение можно
найти по точке А и нормальному вектору
:
, откуда после упрощений получаем
окончательно
.
Пример 3. Через точки А(3, 2, -2) и
В(0, 1, 1) проведена плоскость перпендикулярно плоскости
. Найдите ее уравнение.
Решение.
Первый способ. Нормальный вектор данной
плоскости α имеет координаты (1, 1, 1). Так как и он, и искомая плоскость β
перпендикулярны плоскости α (рис. 6.6), то
и,
следовательно,
есть направляющий вектор
плоскости β. Другой направляющий вектор этой плоскости – это вектор
. Теперь уравнение искомой плоскости
находится по точке А (или В) и двум направляющим векторам:
. Отсюда после упрощений получаем
.
Второй
способ. Вектор по определению векторного
произведения (§ 5.5) перпендикулярен обоим перемножаемым векторам, поэтому он
перпендикулярен искомой плоскости β, то есть является для нее нормальным
вектором. По формуле (5.7.2)
.
Итак,
, Вектор
нормальный
вектор плоскости β. Уравнение этой плоскости находим по точке В и нормальному
вектору
(формула (6.1.1)):
или
.
§ 6.2. Общее уравнение плоскости и его частные случаи
Уважаемый посетитель!
Чтобы распечатать файл, скачайте его (в формате Word).
Ссылка на скачивание - внизу страницы.