Математика \ Математика

Кривые второго порядка (квадрики). Эллипс и его простейшие свойства. Каноническое уравнение эллипса, страница 17

Достаточность. Эту часть доказательства получим, если доказательство необходимости проследим в обратном направлении - от конца к началу.

Скалярное произведение двух векторов в пространстве определяется точно так же, как и на плоскости (§ 2.7). Все бескоординатные свойства остаются в силе, а свойства, связанные с координатами, выводятся так же, как и прежде. И отличаются лишь присутствием третьей координаты. А именно, скалярное произведение векторов и выражается формулой

(5.2.3)

Длина вектора равна

(5.2.4)

а угол φ между векторами и определяется формулой

(5.2.5)

Подчеркнем, что последние три формулы верны только в прямоугольных декартовых координатах.

Как и в двумерном случае (§ 2.6), проекции вектора на координатные оси равны его координатам. А именно, если , то

(5.2.6)

Определение. Косинусы углов, которые вектор образует с осями прямоугольной декартовой системы координат, называются направляющими косинусами вектора.

Из последних формул с учетом формулы (5.1.4) получаем

(5.2.7)

Где α, β, γ – углы вектора с осями координат. Мы выразили координаты вектора через его длину и направляющие косинусы.

По формуле (5.2.4) , поэтому

(5.2.8)

То есть сумма квадратов направляющих косинусов произвольного вектора равна 1.

Рассмотрим орт вектора , то есть единичный вектор сонаправленный с вектором . По формулам (5.2.7) , и мы приходим к выводу: направляющие косинусы любого вектора равны координатам его орта.

Пример. Вектор длины 6 образует с осями ОХ и ОУ углы по 60⁰. Определить координаты вектора и угол, который он образует с осью OZ, если известно, что этот угол тупой.

Решение. Сначала найдем направляющие косинусы вектора. Имеем: найдем из формулы (5.2.8): .

Так как по условию угол γ тупой, то и . Следовательно, γ = 135⁰.

Мы нашли угол вектора с осью аппликат. Координаты вектора найдем по длине и направляющим косинусам, воспользовавшись формулами (5.2.7): .

§ 5.3. Координаты точки. Геометрический смысл уравнений

между координатами.

Определение. Координатами точки в аффинной (и, в частности, - в прямоугольной декартовой) системе координат называются координаты ее радиус-вектора.

Таким образом, по определению координаты точки М равны координатам вектора .

На рис. 5.7 показано построение точки А(-2, -2, 1); в соответствии с определением строится ее радиус-вектор . Как и на плоскости, координаты вектора равны разностям соответствующих координат концов: если A(x₁, y₁, z₁) и В(x₂, y₂, z₂), то . Это позволяет простейшие (и в то же время – важнейшие) формулы аналитической геометрии на плоскости распространить на трехмерное пространство. Это формула длины отрезка:

(5.3.1)

и формулы деления отрезка АВ в отношении λ:

(5.3.2)

Первая из этих формул вытекает из (5.2.4) и верна только в прямоугольных декартовых координатах, вторые выводятся как в § 2.5, они верны в произвольных аффинных координатах. В дальнейшем для простоты и определенности мы будем пользоваться только прямоугольными декартовыми координатами, если нет специальной оговорки.

Уравнение относительно координат

(5.3.3)

определяет в пространстве, вообще говоря, некоторую поверхность; ей принадлежат те и только те точки, координаты которых удовлетворяют уравнению. Подтвердим это простыми примерами.

Пример 1. Уравнение z = 0 – это уравнение координатной плоскости ХОУ.

Z Z Z