Расчёт деформируемых стержневых систем методом перемещений: Методические указания к индивидуальному расчётному заданию по курсу «Строительная механика», страница 27

          В 3-м и 4-м единичных состояниях D_j,k  – это взаимное ( относительное )  перемещение  концевых сечений  j-го элемента  по нормали к его оси от единичного смещения k - й связи ( Z_k = 1 ).

          Реакции  угловых связей  r_1k  и  r_2k  ( k) целесообразно ( проще )  определять  статическим методом  – способом  выре-

зания узлов ( рис. 2.7 ),  используя условия равновесия расчётных

узлов 1 и 3 по моментам:  ,  t = 1, 3 – номера узлов;  k =

= 1, 2, 3, 4 – номера единичных состояний.

r₁₁ = 3i₀ + 8i₀ + 6i₀ = 17i₀ ;   r₁₂ = 0 ;   r₁₃ = 0,75i₀ – 3i₀ + 0,75i₀ = – 1,5i₀ ;

r₁₄ = – 0,75i₀ ;  r₂₁ = 0 ;  r₂₂ = 6i₀ + 3i₀ = 9i₀ ;  r₂₃ = 0,75i₀ + 0,75i₀ = 1,5i₀  ;

r₂₄ = – 0,75i₀ .

          Замечания:

          1) в правой части выражений собственных единичных реакций r₁₁ и r₂₂ – только положительные слагаемые;       

          2) найденные из условий равновесия разных узлов r₁₂ и r₂₁ оказались одинаковыми – это может служить дополнительной проверкой по теореме Рэлея о взаимности единичных реакций.

 

Рис. 2.7

          Реакции линейных связей r_3k и  r_4k  при  рационально  определять по теореме Рэлея через реакции  угловых связей:

                       r₃₁ = r₁₃ ;    r₃₂ = r₂₃ ;    r₄₁ =  r₁₄ ;    r₄₂ = r₂₄ .

S x = 0:  r44 – Q1,4 – Q3,4 = 0 , откуда  r44 = 0,375i0 .           Для контроля можно применить кинематический

          Собственная реакция r₄₄ легко находится статическим методом из условия равновесия отсечённой части ( рис. 2.8 ):

 

Рис. 2.8

метод ( способ «перемноже-

ния» эпюр ):

          Сложнее всего статическим методом определяется собственная реакция r₃₃ . Для её нахождения способом вырезания узлов последовательно используются уравнения равновесия узлов 2, 4 и 1.  Можно определить r₃₃  также способом отсечения части

K

ОСМП – с помощью моментной точки K

( рис. 2.9 )

r23

r43

 из уравнения  Sm_K,3 = 0, в кото-

рое не войдут продольные силы N_4,3 и N_6,3 .

Но реакции  r₁₃ ,  r₂₃   и  r₄₃  должны  быть

r0,3

r33

уже известны

N6,3

N4,3

Q6,3

Q4,3

r13

, тогда

	Me4,3

 

          Для сравнения определим  r₃₃

кинематическим  методом  –  «пере-                          Рис. 2.9

множением» эпюр:

48

    

          Реакцию  r₃₄  определим также  кинематическим методом –

по теореме  о  возможной работе  концевых усилий:   r₃₄ =  –

возможная работа концевых усилий 4-го единичного состояния  ( от Z₄ = 1 )  на  перемещениях  концевых  сечений  от  Z₃ = 1.  Смещение 3-й линейной связи вызывает только линейные перемещения расчётных узлов и примыкающих к ним концов стержней ( без поворотов ).  Поэтому  работу  могут  совершать  только  концевые поперечные  и продольные силы.  Но вследствие примене-

ния гипотезы  суммарная возможная работа концевых про-дольных сил равна 0,  и учитываются только поперечные силы:

r₃₄ = = Q_b1,4 * v_b1,3 + Q_e3,4 * v_e3,3 = 0,1875i₀ * ( – 1 ) + 0,1875i₀ * ( – 1 ) =

     = – 0,375i₀ .

           Знаки « – »  у перемещений v_b1,3  и  v_e3,3 объясняются тем, что их направления противоположны силам  Q_b1,4  и  Q_e3,4  .