Расчёт деформируемых стержневых систем методом перемещений: Методические указания к индивидуальному расчётному заданию по курсу «Строительная механика», страница 20

        с_i  – вектор перемещений         щения  i - й введённой связи,

               расчётных узлов;                Z_i = 1 );

        S_k  – вектор концевых усилий  ( усилий  в концевых сечениях

               элементов ) в k - м единичном состоянии ОСМП  ( от еди-

               ничного смещения k - й введённой связи, Z_k = 1 );

       S_S  – матрица усилий в концевых сечениях элементов ОСМП

                от  заданных воздействий  ( нагрузок,  изменений темпе-

               ратуры, смещений связей);

       F_u – матрица узловых нагрузок ( F_u = 0  в случаях температур-

46

               ных и кинематических воздействий ).

          Векторы a_i , S_k и матрица S_S имеют следующую структуру:

                             ( 1.33 )

где  a_j,i – вектор перемещений  концевых сечений  j - го  элемента

               ОСМП от единичного смещения i - й связи;

      S_j,k  – вектор концевых усилий  j - го элемента ОСМП  от  еди-

                ничного смещения k - й связи;

      S_j,S – матрица  концевых усилий  j - го элемента ОСМП  от  за-

               данных воздействий;

45

        m – количество элементов ОСМП.

          Векторы a_i , S_k и матрица S_S имеют одинаковое число строк.

46

          Количество столбцов матрицы S_S равно n_V  ( n_V – число вариантов заданных воздействий; столбец S_{S, f}  – усилия f-го варианта ).

                Число строк и структура векторов a_j,i, S_j,k и матрицы S_j,S определяются типом элемента ( см. ниже в табл. 1.3 ).

          Вектор перемещений расчётных узлов с_i и матрица узловых нагрузок F_u формируются из блоков, каждый из которых относится к определённому узлу: 

                                                      ( 1.34 )

где  c_t,i – вектор перемещений  t - го узла  в  i - м единичном состо-

               янии ОСМП;

        F_t – матрица нагрузок в t - м  узле; 

               для жёсткого узла плоской системы:

– угол поворота,                                                        – линейное перемещение, параллельное оси у,    узла t – линейное перемещение, параллельное оси х,  от Zi = 1;

– момент,                                                        – сосредоточенная сила, параллельная оси у,      в узле t ; – сосредоточенная сила, параллельная оси х,

      х , у – глобальные ( общие для всей системы ) оси координат;      

45

                для шарнирного узла не описываются q_t,i и M_t .

          У вектора c_i и матрицы F_u одинаковое число строк; количество столбцов F_u равно n_V . Правила знаков для компонентов векторов c_t,i и F_t см. на с. 61.

33

          Вся матрица внешней жёсткости вычисляется по формуле

                                                 r = a ^т S₀ ,                                    ( 1.35 )

где  a = [ a₁ a₂ … a_i … a_n ] – матрица перемещений  концевых се-

ничных состояниях;

                                                чений элементов ОСМП во всех еди-

S₀ = [ S₁ S₂ … S_i … S_n ]  – матрица усилий  в  концевых  сечени-

                                                ях элементов ОСМП  во всех единич-

                                                ных состояниях.

43

          Концевые усилия и перемещения концевых сечений некоторого j - го элемента,  вызванные единичным смещением  Z_i = 1,  связаны между собой физической зависимостью, вытекающей из закона Гука:                       S_j,i = K_ja_j,i ,                                ( 1.36 )