Расчёт деформируемых стержневых систем методом перемещений: Методические указания к индивидуальному расчётному заданию по курсу «Строительная механика», страница 13

36

         Компоненты матрицы внешней жёсткости r – реакции связей в расчётных узлах ОСМП от их единичных смещений;  i - я строка матрицы  –  значения реакции i - й связи от смещений  ( по-следовательно )  Z₁ = 1,  Z₂ = 1, …, Z_k = 1, …, Z_n = 1;   k - й столбец матрицы  –  реакции всех связей  от  единичного смещения  k - й связи ( от Z_k = 1 ).

24

Свойства матрицы внешней жёсткости ОСМП

 и её компонентов:

      1) матрица  r  –  квадратная   n - го  порядка,   невырожденная

(),  положительно определённая ( Det (r) > 0 ), симмет-

ричная относительно главной диагонали;

      2) главные коэффициенты – собственные реакции r_ii  – существенно положительные ( r_ii > 0 );

25

      3) побочные коэффициенты ( побочные реакции введённых связей ) – попарно равные ( r_ik = r_ki ); они могут быть и положительными, и отрицательными, и нулевыми;

      4) сумма компонентов  матрицы жёсткости  существенно по-

ложительная:   

28

1.4.3. Способы определения коэффициентов

и свободных членов канонических уравнений, их проверки

         Коэффициенты ( единичные реакции) и свободные  члены  ( реакции  введённых  связей  от  заданных  воздей-

29

ствий ) канонических уравнений МП могут определяться

         1) статическим методом – из условий равновесия узлов        ( способ вырезания узлов ) или частей основной системы ( способ отсечения частей );

30

         2) кинематическим методом  в двух вариантах:

             – через возможную работу концевых усилий и узловых нагрузок:  ^*);

             – способом «перемножения» эпюр:

                         ;                 ( 1.16 )

,             ( 1.17 )

                      

где и– внутренние силовые факторы  и  реакции упругих

                        связей  от заданной  нагрузки  ( силового воздейст-

                         вия )  в  любой  статически определимой системе,

                        полученной  из  рассчитываемой системы  удале-

                        нием лишних связей;

               e_S,t  – свободные (нестеснённые)  температурные дефор-

                        мации, соответствующие силовым факторам S ;

               D_(j) – компоненты заданных смещений связей;

S_i, R_j,i и R_{(j), i} – внутренние усилия, реакции упругих и смещаемых

                        связей  в  i - м  единичном состоянии ( от Z_i = 1 )

               C_S   – жёсткость сечения стержня при деформации, соот-

                        ветствующей усилию S;

                C_j   – жёсткость j-й упругой связи.

 

^*) Теорема:  реакция R_iS  i - й связи от заданного воздействия ( S )  равна

    разности между возможной работой  концевых усилий всех эле-

    ментов системы  от воздействия S  на перемещениях концевых сече-

    ний от единичного смещения  i- й связи  ( от Z_i = 1 ) и  возможной  ра-

    ботой  узловых нагрузок состояния S на перемещениях узлов от

    Z_i = 1;    r_ik  –  частный случай,  где состояние k   – от  единичного сме-

    щения  k - й связи ( от Z_k = 1 ).

         Для плоской стержневой системы:

;  ( 1.18 )

( 1.19 )

          Применение любого из указанных способов требует знания внутренних силовых факторов в элементах основной системы  от  различных  воздействий  –  силовых,  температурных  ( заданных нагрузок и изменений температуры ) и  кинематических  ( заданных смещений связей,  а также  единичных смещений  дополнительных связей в расчётных узлах ).  Для этого служат результаты решения стандартных задач для типовых элементов ОСМП, которые даны в следующем параграфе.