Системы линейных алгебраических уравнений, по которым рас-считываются численные значения функций в узлах сеток, могут быть записаны в матричной форме, особенно если используется много эле-ментов. Это облегчает решение систем уравнений.
Следует иметь в виду, что для некоторых задач не существуют необходимые функционалы. В этих случаях для получения систем ал-гебраических уравнений используют преимущественно метод Б. Г. Га-леркина, один из видов метода взвешенных невязок.
Для получения более подробных сведений об этих методах сле-дует обратиться к специальной литературе [5,...,8].
3.8.5 Граничные условия
Особо следует остановиться на аппроксимации граничных условий в методах конечных разностей и конечных элементов.
Изменение температуры граничных (поверхностных) точек во времени при граничных условиях первого рода задаётся и в любой момент времени они известны.
При граничных условиях второго и третьего рода приходится применять искусственный приём, вводя дополнительный слой на наружной поверхности тела и предполагая, что в этом слое тепло
Рисунок 20. – Схема к определению температуры поверхности.
также передаётся теплопроводностью. Температуру наружной поверх- ности этого мнимого слоя обозначим через t 0, температуру поверх- ности тела - через t1, а температуру в следующей точке - через t 2 (рисунок 20).
При одномерном температурном поле в пластине (изменяется она по толщине) аналог уравнения теплопроводности в конечно-разностной форме имеет вид (t1,τ─ t1)/Δτ = a(t2 – 2t1 – t0)/Δx2, а граничные условия второго рода (t2 – t0)/2Δx = q(τ)/λ. Отсюда найдем t0 = t2 – 2q(τ) Δx/λ и, подставив в предыдущее уравнение, получим
t1,τ = t1(1-2 ΔFo ) + 2 t2 ΔFo – 2q(τ) ΔFo Δx/λ.
Это выражение обеспечивает устойчивость расчета при ΔFo ≤ 0,5, то есть условие это такое же, как при явной схеме расчета по четы-рехточечному шаблону.
При граничных условиях третьего рода уравнение теплообмена в конечных разностях запишется в виде a (t c – t1) = -l (t 2 - t 0) / 2Dx. Отсюда t 0 = t 2 + 2 a Dx (t c – t 1) / l . Если это выражение подставить в аналог уравнения теплопроводности, то
t1,t = 2 DFo DBi tc + [1 - 2DFo(1 + DBi)] + 2DFo t 2 .
Теперь условие устойчивости решения выразится соотношением DFo £ 0,5 / (1 + DBi), то есть оно будет более жесткое, чем при гра- ничных условиях первого рода . Снять это ограничение можно за счёт аппроксимации граничного условия формулой, полученной так назы- ваемым методом неопределенных коэффициентов [4] :
t1,t = (2 DBi t c + 4t 2 – t 3) / (3 + 2 DBi) .
Следует иметь в виду, что численные решения чувствительны к резким изменениям параметров, которые часто наблюдаются на пер- вых шагах расчёта по времени . Поэтому рекомендуется [4] на первом шаге уменьшать температурный толчок, используя фиктивные значе- ния начальной температуры. Например, температуру поверхности плас- тины толщиной d , разбитой на n слоёв , принять
· - при граничных условиях первого рода t1 = (t1,t + t н)/2 ;
· - при граничных условиях второго рода t1 = t н + 0,5DFo (q1 d/l)(Dх/d)
t n+1 = t н + 0,5DFo (q2 d/l)(Dx/d);
· - при граничных условиях третьего рода
t1 = t01 – 0,5(t01 – t н1)(DBi1 +4)/(DBi1 +2),
t n+1 = t 02 – 0,5(t02 – t н2)(DBi2+4)/(DBi2+2).
В методе конечных элементов граничные условия первого рода учитываются основным интегралом в функционале, а для граничных условий второго и третьего рода к основному уравнению добавляется еще интеграл - по поверхности. Например, задаче стационарной теп-лопроводности, описываемой дифференциальным уравнением λ(∂2t/∂x2) + + λ(∂2t/∂y2) + q = 0 при граничных условиях tп = f1, λ(∂t/∂n) + αtп = f2 со-ответствует интегральная формула, содержащая функционал
Уважаемый посетитель!
Чтобы распечатать файл, скачайте его (в формате Word).
Ссылка на скачивание - внизу страницы.