При этом схемы расщепления должны удовлетворять условиям апп-роксимации и устойчивости только в окончательном итоге. Это дает воз-можность построения схем по существу для всех основных уравнений пе-реноса. Методы расщепления можно применять для решения многомер-ных задач, при совместно протекающих процессах, описываемых несколькими уравнениями, например, уравнениями теплопроводности и диффузии, уравнениями Навье-Стокса и энергии для потока среды. Отли-чительная особенность этих схем- сочетание сильных сторон явных схем (меньшие затраты времени на временном шаге) и неявных схем ( безуслов-ная устойчивость).
Протекание многомерного физического процесса на каждом вре-менном шаге в таких схемах представляется как результат последова- тельной реализации соответствующих одномерных процессов, каждый из которых начинается от поля распределения параметров, получивше-гося после окончания предыдущего одномерного процесса. На основе такого представления, называемого расщеплением по пространственным переменным, моделирование одномерных процессов проводится с помощью неявных схем, а последовательное действие процессов учи-тывается по существу явным образом.
При решении задач, связанных с одновременным протеканием нескольких процессов, последовательно решаются отдельные уравнения со своими граничными условиями, а значения величин, определяемых из других уравнений (теплофизических свойств, коэффициентов перено-са), берутся из полей параметров, уже полученных на данном или на предыдущем временном шаге. После расщепления по физическим процессам отдельные многомерные задачи можно далее расщеплять по пространственным координатам.
В качестве примера расщепления по координатам приведем сис-тему конечно-разностных уравнений для случая трехмерной теплопро-водности. Здесь используется понятие анизотропности тела, причем предполагается, что сначала тепло распространяется лишь по оси х, за-тем по оси у и по оси z. Шаг по времени также разбивается на промежуточные слои, на которых конечно-разностные уравнения вооб-ще не аппроксимируют дифференциальное уравнение. Они обеспечива-ют лишь итоговую аппроксимацию. Погрешности аппроксимации промежуточных временных слоев гасят друг друга, и на целом слое аппроксимация имеет место.
Система конечно-разностных уравнений в этом случае имеет вид
Здесь в каждом уравнении опущены члены, аппроксимирующие вторые производные по двум из координат, причём при каждом решении системы уравнений продвижение по времени происходит на Dt/3. Благодаря такому подходу метод прогонки становится применимым и к решениям по многомерным задачам.
Границы и условия применимости явных и неявных схем точно установить невозможно, так как выгодность их использования зависит от многих и неопределенных факторов. Тем не менее, следует иметь в виду, что количество вычислений на одном временном слое по неявной схеме примерно в два раза больше, чем по явной, и если в первом случае шаг по времени принять в четыре раза больше, чем во втором, то с точки зрения затрат машинного времени целесообразнее использовать неявную схему. Однако при быстро протекающих процессах этот шаг придется брать малым, чтобы не исказить динамику процесса. Тогда преимущество неявной схемы может не проявиться. При одиночных расчетах и в небольшом количестве узлов явные схемы могут быть более выгодными.
3.8.3. Метод баланса
Уважаемый посетитель!
Чтобы распечатать файл, скачайте его (в формате Word).
Ссылка на скачивание - внизу страницы.