Тепломассообмен (физико-математические основы): Учебное пособие, страница 21

J_0n -  интенсивность  излучения  абсолютно  черного  тела  при  температуре  поверхности   в  точке  N;         

R_n - направленная  отражательная  способность  граничной  поверх- ности  в  точке  N  для  падающего  излучения  J_n¢  по  направ –

лению  y;

g_n - индикатриса  отражения  граничной  поверхности  в  точке  N

( у диффузно  отражающей  поверхности  g_n =1);

cos (x¢, n) -  косинус  угла  между  направлением  x¢  и  нормалью  n к поверхности  в  точке N.

Как    видно,   уравнение   переноса   излучения   является   интегро - - дифференциальным  в  связи  с учётом рассеяния  энергии, а граничное    условие – интегральным.      

Оба  уравнения  упрощаются,  если  среда  нерассеивающая (s_n = 0), как  продукты  полного  горения  топлива,  то  есть  без  сажистых  частиц,  и  если  отражение  диффузно.

В  настоящее  время  разработаны  методы,  позволяющие  учитывать  селективность  не  только  газовых  объёмов, но  и  твердых  поверхностей.

2.2.  Уравнение  неразрывности  потока

В  основу  вывода  уравнения  положен  закон  сохранения  массы  вещества.

Примем,  что  среда  движется  в  пространстве  с  линейной  скоростью  w.  Плотность  её  при этом   зависит  от  координат.  Проекции  скорости  на  прямоугольные  оси  координат  равны  w_x , w_y ,  w_z (рисунок  11).

В  потоке  среды  выделим  элементарный  объём  dV  с  размерами  dl_x, dl_y, dl_z.  При  плотности  потока  массы  m_x  через  левую  грань  объёма  площадью dl_ydl_z притекает количество вещества dM_x1=m_xdl_ydl_zdt,  вытекает  через противоположную грань dM _x2 = [ m _x+ (¶ m_x/¶ x) dl_x]dl_ydl_zdt . Разница  между  входящим  и  выходящим  количеством (приращение  массы)  

dM _x = dM _x1 -  dM _x2 =  -  (¶ m _x/¶x) dV dt .

Сумма  приращений  по всем трём осям

dM = - .

z                                   dM _z2

dM _x1                                       dM _x2

                         w_z

                                                                 dM _z1

w_x                                           x

w_y

y                                                 0

Рисунок  11 . -  Схема  потоков  массы  в  прямоугольной  системе координат (по  оси  у  потоки  условно  не  показаны).

Это  приращение  должно  изменить  плотность  среды  во  времени:

-[(¶m _x/¶x) + (¶m _y /¶y) + (¶ m _z /¶z)] dV dt = (¶g/¶t)dV dt .

Учитывая,  что  плотность  потока  массы  m = g w,  полученное  выше  уравнение  можно  переписать  в  виде

Это  и  есть  уравнение  неразрывности (сплошности)  потока  вещества.

При  стационарном  режиме  ¶g /¶t = 0,  а  для  несжимаемого  вещества,  например  капельной  жидкости ,  g = const  и   тогда

Уравнение  сплошности  можно  написать  для  цилиндрических  и  сферических  координат,  если  воспользоваться  соотношениями,  связываю-щими  последние  с  координатами  декартовыми.  Так  для  цилиндрических  эти  соотношения  имеют  вид  x = r cos ,  y = r sin ,  z = z,  r = ,   

,  .  Поэтому  

Скорости    w_x  и  w_{y ,}  как  видно  из  вышеприведенных  соотношений,  являются  функциями  координат  r  и  ,  поэтому  для  них,  как для  слож-ных  функций,

sin

Подставляя  сюда  выражения  для  w_x  и  w_{y ,}  раскрывая  производные  и  суммируя  ,  получим

.

Таким  образом,  уравнение  сплошности  потока  в  цилиндрических  координатах,  при  γ=const,  будет  иметь  вид

.

2.3.  Уравнения  движения  среды

Уравнения  движения  или  уравнения  Навье – Стокса  выводятся  на  основе  второго  закона  Ньютона  из  механики:  сумма  сил, действующих  на  тело,  равна  произведению  массы  тела  на  ускорение.  Для  элемен -    тарного  объёма  dV  этот  закон  можно  написать  в  виде