Линейные цепи в установившемся режиме: Курс лекций, страница 34

             (6.5)

т.к. в фильтрах   Z1   и Z2являются реактивными сопротивлениями, противоположного характера, то параметр А11 является действительным числом. В этом случае  должно быть равно нулю, а т.к в полосе пропускания фильтра затухание  равно , тогда

                                                       

Поскольку меняется в пределах от -1 до  1, то

Или

что и требовалось доказать.

6.4. ФИЛЬТРЫ HИЖНИX  ЧАСТОТ,  ИХ ПАРАМЕТРЫ И ЧАСТОТНЫЕ ХАРАКТЕРИСТИКИ

В фильтрах нижних частот последовательные плечи содержат индуктивность,  а параллельные - емкость /рис.6.4/

В таких фильтрах колебания низких частот встретят со стороны индуктивности небольшое  сопротивление и пройдут через нее к сопротивлении нагрузки,  ответвляясь в емкость лишь в очень малой степени,  т.к.  емкость на низких частотах представляет большое сопротивление. Колебания высоких частот задерживаются индуктивностью и ответвляются в ветви с емкостями, поэтому  на нагрузку будет проходить лишь небольшая часть входного напряжения.

Для определения граничных частот полосы пропускания воспользуемся равенствами из выражения /6.3/. Т.к.

, а,

то

/6.6/

Приравнивая полученное выражение сначала нулю,  а затем единице, получим

    /6.7/

Таким образом, полоса протекания ФНЧ простирается от w=О до  область частот  является полосой затухания.

Характеристические сопротивления для Т и П-образной схем фильтров, будут равны:

                                         (6.8)

                                         (6.9)

Из выражений (6.8) и (6.9) видно, что характеристическое сопротивление изменяется с изменением частоты. что значит, что подключая в качестве нагрузки активное сопротивление можно добиться согласованного режима работы лишь в области частот от нуля до некоторой частоты,  меньшей частоты среза.

График зависимостей  и приведен на рис.6.5

Можно показать, что частотные зависимости и изменяются следующим образом:

                                  (6.10)

                                 (6.11)

Графики частотных зависимостей  и  приведены на рис.6.6.

Расчет фильтра заключается в определении значений L и С по заданным частоте среза wc и сопротивлению нагрузки, на которую будет работать фильтр.

Приближенно полагая,  что в полосе пропускания характеристическое сопротивление равно  и  используя равенство получаем

                                          (6.12)

ПРИМЕР. Определить значения L и С фильтра нижних частот, полоса пропускания которого лежит .от 0 до 10 кГц, а сопротивление нагрузки

=10 кОм.

Значения L и С при заданных условиях будут

6.5.  ФИЛЬТРЫ ВЕРХНИХ ЧАСТОТ, ИХ ПАРАМЕТРЫ И ЧАСТОТНЫЕ ХАРАКТЕРИСТИКИ

В фильтрах верхних частот /ФВЧ/ последовательные плечи Т-образной и П-образной схем содержат емкость С, а параллельные -индуктивность L (рис.6.7).

Токи высокой частоты встретят со стороны емкостей небольшое сопротивление и пройдут через них к нагрузке, ответвляясь в индуктивности в очень малой степени,  т.к. индуктивности представляют большое сопротивление колебаниям высоких частот.

Токи низких частот сильно ослабляются емкостями,  поскольку они представляют для них большое сопротивление и ответвляются через индуктивность, которая на низких частотах представляет малое сопротивление, поэтому через нагрузку  будет протекать лишь незначительная часть входного тока.

Для определения граничных частот полосы пропускания воспользуемся равенством: из выражения.

Так как ,

то.

                                   (6.13)

Приравнивая 6.13 сначала единице, а затем нулю, получаем

                           (6.14)

Таким образом, полоса пропускания ФВЧ простирается от  до

Область частот  является полосой затухания.

Характеристические  сопротивления для Т- и П-образной схемы фильтров будут равны

                        (6.15)

                                (6. 16)

         Из приведенных выражений видно,  что характеристические сопротивления фильтров изменяются с изменением частоты, это значит, что подключая в качестве нагрузки активное  сопротивление  можно добиться согласованного режима работы лишъ в области частот - от некоторой частоты большей, чем частота среза, до очень больших частот.

Графики зависимости приведены На. рис.6.8 можно также показать, что зависимостименяются следующим образом:

                          (6.16)

                                      (6.17)

Графики частотных зависимостей приведены на рис.6.9

1. Приближенно можно считать, что ФВЧ пропускает от источника в нагрузку,  работая в согласованном режиме колебания токов высоких частот, если .

2. Приближенно можно считать,  что согласованный режим работы обеспечивается, если

Расчет Фильтра

Расчет фильтра заключается в определении значение L и С, по заданным частоте среза и сопротивлению нагрузки. Приближенно полагая,  что в полосе пропускания характеристическое сопротивление равно  и используя получаем:

                                   (6.18)

ПРИМЕР 6.1. Определить значения L и С фильтра верхних частот, полоса пропускания которого лежит в пределах от10 кГц до бесконечности, а сопротивление нагрузки r н = 10 кОм.

РЕШЕНИЕ.

значения L и С при заданных условиях будут равны.

При этом элементы Т и П-образной схем будут иметь следующие значения (приведены на рис.6.10)

6.6. ПОЛОСОВЫЕ ФИЛЬТРЫ, ИХ ПАРАМЕТРЫ И ЧАСТОТНЫЕ ХАРАКТЕРИСТИКИ

В полосовых фильтрах (ПФ) последовательные плечи Т-образной и П-образной схем содержат последовательные контуры, а параллельные плечи - параллельные контуры (рис.6.11).

Известны частотные зависимости сопротивлении последовательного и параллельного контуров от частоты, которые приведены на pис.6.12

Как видно из рис.6.12,  сопротивление последовательного контура на резонансной частоте минимально, а сопротивление параллельного контура максимально.