Цифровая обработка сигналов. Основные понятия и определения. Сигналы и их спектральное представление, страница 33

Случай 1

Пусть при дискретизации сигнала с частотой  выполнялось условия

                                      (10.1)

(в нашем случае ). Очевидно, что величина частоты дискретизации является излишней, поскольку в соответствии с теоремой Котельникова должно выполняться условие . Модуль спектра сигнала  с частотой  показан на рисунке 10.2,в. Он периодичен с частотой . Поскольку в интересующей нас полосе  спектр не изменяется, то как по сигналу , так и по сигналу  можно восстановить исходный сигнал .

Очевидно, что сигнал  можно получить из сигнала  путем прореживания последнего, т.е. путем взятия только каждого M-го (в нашем случае каждого 2-го) отсчета из сигнала . Эта операция называется децимацией с целочисленным коэффициентом M.

Случай 2.

Пусть при дискретизации частотой  не выполнялось условие . Тогда при  на основной спектр в полосе частот  наложится дополнительный спектр, расположенный около центральной частоты  (рисунок 10.2,г). Следовательно, спектр сигнала и сам сигнал оказались искаженными. Если по сигналу  можно восстановить сигнал , то по сигналу  этого сделать уже невозможно.

Т.о. для выполнения операции децимации в целое число раз M необходимо, чтобы частота дискретизации  исходного сигнала, подлежащего децимации удовлетворила условию:

                                           (10.2)

где  – граничная частота спектра сигнала.

Из рисунка видно, что если основной спектр входного сигнала условно разбить на M составляющих  (в примере M = 3), занимающих по оси частот M полос шириной в , то после уменьшения частоты дискретизации в M раз в основную полосу частот .

10.2 Компрессор частоты дискретизации

Собственно, операция децимации выполняется с помощью компрессора частоты дискретизации (КЧД). Условное изображение КЧД, осуществляющего уменьшение частоты дискретизации в M раз показано на рисунке 10.4.

КЧД представляет собой ключ, который замыкается в моменты времени  при , т.е. из входного сигнала  с интервалом

дискретизации Т берется только каждый M-й отсчет и формируется выходной сигнал с , иными свойствами выходная последовательность КЧД  формируется путем прореживания входной последовательности  по алгоритму

,                               (10.2)

где ;

;

k – целое число .

Операция, выполняемая КЧД, называется прореживанием, а последовательность  – прореженной.

На рисунке 10.5 показаны последовательности  и  для случая  и , т.е. при уменьшении частоты дискретизации в 4 раза.

На практике часто используется случай . Можно показать, что в этом случае спектр выходной последовательности КЧД  равен

,                          (10.3)

где  – нормированная частота спектра входной последовательности;

 – нормированная частота спектра выходной последовательности.

Из (10.3) видно, что спектр выходной последовательности есть сумма спектров входного сигнала, сдвинутых один относительно другого по оси частот на величину . Таким образом, если основной спектр входного сигнала КЧД в полосе  разбить условно на M составляющих, занимающих M полос на оси частот шириной , то после уменьшения частоты дискретизации в M раз в основную полосу частот  выходного сигнала показывает каждая k-я составляющая спектра входного сигнала из полосы .

На рисунке 10.6 показаны модули спектра входного сигнала и составляющих спектра выходного сигнала КДЧ при уменьшении частоты дискретизации в M = 3 раза.

выходной последовательности показывают прямые спектры выходной последовательности попадают прямые спектры  четных составляющих  и инверсные спектры  нечетных составляющих  спектра входной последовательности. В нашем случае спектр входной последовательности условно разбит на три составляющие , , . После уменьшения частоты дискретизации в 3 раза в основную полосу частот  попадают составляющие  и  при  и  при .