Цифровая обработка сигналов. Основные понятия и определения. Сигналы и их спектральное представление, страница 17

Пример 5.9 Передаточная функция РЦФ равна

.

; ;  – фильтр неустойчив.

Вывод: полюсы передаточной функции устойчивой дискретной цепи лежат внутри единичной окружности Z-плоскости. Нерекурсивные ЦФ всегда устойчивы.

Так, для фильтра из примера 5.4 получили, что при  – (невозрастающая функция) отклик цепи

является также невозрастающей функцией, т.е. отклик ограничен. Таким образом, фильтр является устойчивым.

5.5 Частотные характеристики ЦФ

Одним из важных показателей ЦФ является комплексный частотный коэффициент передачи

.                                     (5.11)

Если учесть, что  – системная функция ЦФ, то для получения  достаточно в выражении для  заменить z на , т.е.

                      (5.12)

Для нерекурсивных ЦФ:

.

Тогда .

Поскольку все частотные характеристики зависят при постоянном Т от произведения , то вместо  можно ввести новую переменную – нормированную частоту. Как правило, используют два способа нормирования частоты. При первом способе полагают .

В этом случае период всех частотных характеристик равен  и требования к ним следует задавать на интервале . При втором способе полагают , где . В этом случае период дискретизации равен  и требования следует задавать на интервале .

Будем считать, что нормированной частотой является частота .

Тогда

.             (5.13)

Из (5.13) легко получить АЧХ и ФЧХ цифрового фильтра

.            (5.14)

Для рекурсивного ЦФ , поэтому

                      (5.15)

Из выражений (5.13) и (5.15) следует ряд важных свойств:

-  все частотные характеристики ЦФ являются непрерывными функциями частоты;

-  все частотные характеристики являются непериодическими функциями частоты f с периодом повторения частоты дискретизации  (или 1 в масштабе нормированных частот ), поскольку в выражении для  входит периодическая функция ;

-  АЧХ есть четная функция от частоты, ФЧХ – нечетная функция частоты

Рисунок 5.14

.

Из этих свойств следует, что требования к частотным характеристикам следует задавать лишь на интервале в половину периода, т.е. . На рисунке 5.14 приведен возможный вид АЧХ и ФЧХ дискретной цепи.

Пример 5.10 Найти амплитудно-частотную характеристику ЦФ с импульсной характеристикой .

Запишем   – передаточная функция нерекурсивного ЦФ.

Тогда АЧХ этого фильтра равна

.        (5.16)

Задаваясь различными значениями нормированной частоты  в диапазоне  получим АХЧ, график которой приведен на рисунке 5.15.

Рисунок 5.15

Рисунок 5.16

 

Из этого рисунка видно, что ЦФ реализует в диапазоне частот  частотную характеристику фильтра нижних частот.

Пример 5.11 Изменим коэффициенты усиления  в предыдущем примере на ; . Вновь найдем выражения  и построим график его АЧХ. Для этого заменим в выражении  из предыдущего примера на коэффициенты  на новые. Получим

.

Данный фильтр реализует АЧХ, соответствующую фильтру верхних частот.

Сопоставляя результаты расчетов и графики, приведенные в примерах 5.10 5.11, можно сделать важный вывод: ЦФ легко перестраивать. Для получения фильтров нового функционального назначения достаточно изменить коэффициенты усиления  и .

5.6 Типовые звенья ЦФ и способ соединения фильтров

Существуют ли типовые звенья дискретной цепи? Да, сущствуют. В литературе типовыми звеньями дискретной цепи считаются звенья 1-го и 2-го порядков. Они получаются из общей структуры (канонической схемы), если оставить в ней один или два элемента задержки.

Типовое звено первого порядка (рисунок 5.17) с передаточной функцией

имеет АЧХ, равную

.

Типовое звено 2-го порядка имеет вид (рисунок 5.16) имеет передаточную функцию

Рисунок 5.17